O número de tempestades de inverno em um ano bom é uma variável aleatória de Poisson com média 3, enquanto o número em um ano ruim é uma variável de Poisson com média 5. Se o próximo ano tem probabilidades 0,4 de ser um ano bom e 0,6 de ser um ano ruim, determine o valor esperado e a variância do número de tempestades no próximo ano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de probabilidade envolvendo tempestades de inverno. A gente sabe que, em um ano bom, o número de tempestades segue uma distribuição de Poisson com média 3, e em um ano ruim, a média é 5. Além disso, a probabilidade de um ano ser bom é de 40% e de ser ruim, 60%. Nosso objetivo é encontrar o valor esperado e a variância do número de tempestades no próximo ano. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição de Poisson e propriedades de valor esperado e variância.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor esperado do número de tempestades. O valor esperado geral pode ser obtido considerando as duas possibilidades: ano bom e ano ruim.
A fórmula para o valor esperado é:
E[X] = P(Bom) times lambdabom + P(Ruim) times lambdaruim
onde:
  • $ P(Bom) = 0,4 $
  • $ \lambda_{bom} = 3 $
  • $ P(Ruim) = 0,6 $
  • $ \lambda_{ruim} = 5 $
Calculando:
P(Bom) = 0,4

Passo 3

Agora, vamos calcular a variância do número de tempestades. A variância para uma variável aleatória mista como essa pode ser calculada usando a fórmula:
Var(X) = E[Var(X|Ano)] + Var(E[X|Ano])
Primeiro, calculamos $ E[Var(X|Ano)] $. Sabemos que para uma distribuição de Poisson, a variância é igual à média. Então:
E[Var(X|Ano)]
Em seguida, calculamos $ Var(E[X|Ano]) $. Primeiro, encontramos $ E[X|Ano] $:
E[Var(X|Ano)] = P(Bom) times lambdabom + P(Ruim) times lambdaruim = 0,4 times 3 + 0,6 times 5 = 1,2 + 3 = 4,2
A variância disso é:
Var(E[X|Ano])
Somando as duas partes:
E[X|Ano]

Resposta

O valor esperado do número de tempestades no próximo ano é 4,2 e a variância é 5,16.

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