O número de tempestades de inverno em um ano bom é uma variável aleatória de Poisson com média 3, enquanto o número em um ano ruim é uma variável de Poisson com média 5. Se o próximo ano tem probabilidades 0,4 de ser um ano bom e 0,6 de ser um ano ruim, determine o valor esperado e a variância do número de tempestades no próximo ano.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um problema de probabilidade envolvendo tempestades de inverno. A gente sabe que, em um ano bom, o número de tempestades segue uma distribuição de Poisson com média 3, e em um ano ruim, a média é 5. Além disso, a probabilidade de um ano ser bom é de 40% e de ser ruim, 60%. Nosso objetivo é encontrar o valor esperado e a variância do número de tempestades no próximo ano. Para resolver isso, vamos usar conceitos de distribuição de Poisson e propriedades de valor esperado e variância.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor esperado do número de tempestades. O valor esperado geral pode ser obtido considerando as duas possibilidades: ano bom e ano ruim.
A fórmula para o valor esperado é:
onde:
- $ P(Bom) = 0,4 $
- $ \lambda_{bom} = 3 $
- $ P(Ruim) = 0,6 $
- $ \lambda_{ruim} = 5 $
Calculando:
Passo 3
Agora, vamos calcular a variância do número de tempestades. A variância para uma variável aleatória mista como essa pode ser calculada usando a fórmula:
Primeiro, calculamos $ E[Var(X|Ano)] $. Sabemos que para uma distribuição de Poisson, a variância é igual à média. Então:
Em seguida, calculamos $ Var(E[X|Ano]) $. Primeiro, encontramos $ E[X|Ano] $:
A variância disso é:
Somando as duas partes:
Resposta
O valor esperado do número de tempestades no próximo ano é 4,2 e a variância é 5,16.