A função de densidade conjunta de
e
é dada por
Determine
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que a densidade conjunta de
e
é
e pede
.
Conteúdo: expectativa de variável contínua com densidade conjunta.
O que precisamos:
Conteúdo: expectativa de variável contínua com densidade conjunta.
O que precisamos:
- Encontrar a constante de normalização
usando
. - Calcular
.
Passo 2
Primeiro achamos
.
Normalização exige
Normalização exige
Dentro, a gente vê
Então
Logo
.
Passo 3
Agora vamos a
.
Por definição,
Por definição,
Repara que, para cada
fixo, a função
é ímpar em
(isto é,
), e os limites de
são simétricos
.
Teorema: integral de função ímpar em intervalo simétrico é zero.
Então
Teorema: integral de função ímpar em intervalo simétrico é zero.
Então
e portanto
.