A função de densidade conjunta de X e Y é dada por
f(x, y)=c(y^2-x^2) e^-y,-y <= x <= y, y>0
Determine E[X].

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que a densidade conjunta de f(x, y)=cl(y^2-x^2r)e^-y, -y <= x <= y,;y>0, e é
e pede .
Conteúdo: expectativa de variável contínua com densidade conjunta.
O que precisamos:
  1. Encontrar a constante de normalização usando
    .
  2. Calcular .

Passo 2

Primeiro achamos 1 =integraly=0^inftyintegralx=-y^yc,(y^2 - x^2)e^-y,dx,dy .
Normalização exige
integral-y^y(y^2 - x^2),dx =integral-y^yy^2,dx ;-;integral-y^yx^2,dx =2y^3 ;-;2y^33 =4y^33
Dentro, a gente vê
1 =cintegral0^infty4y^33e^-y,dy =;c;43,Gamma(4) =;c;43cdot 3! =;c;43cdot6 =;8c
Então
Logo .

Passo 3

Agora vamos a E[X] =integraly=0^inftyintegralx=-y^yx;f(x,y),dx,dy =integral0^inftyintegral-y^yx;18,(y^2 - x^2)e^-y,dx,dy .
Por definição,
integral-y^yx,(y^2 - x^2),dx = 0,
Repara que, para cada fixo, a função é ímpar em (isto é, ), e os limites de são simétricos .
Teorema: integral de função ímpar em intervalo simétrico é zero.
Então
e portanto .

Resposta

E[X]=0

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