Suponha que a quantidade de grãos lançada por minuto por uma máquina semeadora é uma variável aleatória normal com desvio padrão igual a 25 . Para estimar a média
dessa variável medimos as quantidades lançadas em 20 minutos:
1198115912171228125011891194122211971206
1208121312371170119711661193121811881236
O valor encontrado em a) é um estimador para
baseado nos 20 valores observados. Muito provavelmente, o valor real de
é diferente do valor obtido em a). Baseado nos valores observados, crie um intervalo de confiança
para
.
1198115912171228125011891194122211971206
1208121312371170119711661193121811881236
O valor encontrado em a) é um estimador para
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde uma máquina está lançando grãos a uma taxa que varia normalmente, com desvio padrão de 25 grãos por minuto. Medimos a quantidade de grãos lançados em 20 minutos e queremos usar esses dados para estimar a média real
dessa máquina. A nossa missão é criar um intervalo de confiança de 95% para
, ou seja, queremos ter 95% de certeza de que a média verdadeira está dentro desse intervalo. Para isso, vamos precisar calcular a média dos nossos dados e usar a fórmula do intervalo de confiança para a média.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média dos 20 valores que medimos. A média (
) é simplesmente a soma de todos os valores dividida pelo número de observações. Vamos somar todos os números que você forneceu:
Somando todos esses valores, a gente obtém uma soma total de 24.158 grãos. Agora, dividimos pela quantidade de observações, que são 20 minutos:
Então, a média dos grãos lançados por minuto é aproximadamente 1207,9.
Passo 3
Agora que temos a média, vamos construir o intervalo de confiança de 95% para
. Como a população segue uma distribuição normal e conhecemos o desvio padrão
, podemos usar a fórmula do intervalo de confiança usando a distribuição Z. A fórmula é:
Onde:
-
é a média amostral. -
é o valor crítico da distribuição Z para o nível de confiança desejado. -
é o desvio padrão populacional. -
é o tamanho da amostra.
Para um intervalo de confiança de 95%, o valor de
é aproximadamente 1,96.
Passo 4
Vamos agora substituir os valores na fórmula:
Primeiro, calculamos o erro padrão:
Agora, multiplicamos o erro padrão pelo valor crítico Z:
Passo 5
Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo esse valor da média amostral:
Resposta
O intervalo de confiança de 95% para a média
é aproximadamente de 1196,94 a 1218,86 grãos por minuto.