Suponha que a quantidade de grãos lançada por minuto por uma máquina semeadora é uma variável aleatória normal com desvio padrão igual a 25 . Para estimar a média mu dessa variável medimos as quantidades lançadas em 20 minutos:
1198115912171228125011891194122211971206
1208121312371170119711661193121811881236
O valor encontrado em a) é um estimador para mu baseado nos 20 valores observados. Muito provavelmente, o valor real de mu é diferente do valor obtido em a). Baseado nos valores observados, crie um intervalo de confiança 95 % para mu.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema onde uma máquina está lançando grãos a uma taxa que varia normalmente, com desvio padrão de 25 grãos por minuto. Medimos a quantidade de grãos lançados em 20 minutos e queremos usar esses dados para estimar a média real mu dessa máquina. A nossa missão é criar um intervalo de confiança de 95% para mu, ou seja, queremos ter 95% de certeza de que a média verdadeira está dentro desse intervalo. Para isso, vamos precisar calcular a média dos nossos dados e usar a fórmula do intervalo de confiança para a média.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média dos 20 valores que medimos. A média ( barx) é simplesmente a soma de todos os valores dividida pelo número de observações. Vamos somar todos os números que você forneceu:
1198 + 1159 + 1217 + 1228 + 1250 + 1189 + 1194 + 1222 + 1197 + 1206 + 1208 + 1213 + 1237 + 1170 + 1197 + 1166 + 1193 + 1218 + 1188 + 1236
Somando todos esses valores, a gente obtém uma soma total de 24.158 grãos. Agora, dividimos pela quantidade de observações, que são 20 minutos:
barx = 2415820 = 1207,9
Então, a média dos grãos lançados por minuto é aproximadamente 1207,9.

Passo 3

Agora que temos a média, vamos construir o intervalo de confiança de 95% para mu. Como a população segue uma distribuição normal e conhecemos o desvio padrão sigma = 25, podemos usar a fórmula do intervalo de confiança usando a distribuição Z. A fórmula é:
barx pm Zalpha/2 times sigmaraizn
Onde:
  • barx é a média amostral.
  • Zalpha/2 é o valor crítico da distribuição Z para o nível de confiança desejado.
  • sigma é o desvio padrão populacional.
  • n é o tamanho da amostra.
Para um intervalo de confiança de 95%, o valor de Zalpha/2 é aproximadamente 1,96.

Passo 4

Vamos agora substituir os valores na fórmula:
barx = 1207,9 sigma = 25 n = 20 Zalpha/2 = 1,96
Primeiro, calculamos o erro padrão:
sigmaraizn = 25raiz20 approx 254,472 approx 5,590
Agora, multiplicamos o erro padrão pelo valor crítico Z:
1,96 times 5,590 approx 10,964

Passo 5

Finalmente, construímos o intervalo de confiança adicionando e subtraindo esse valor da média amostral:
1207,9 - 10,964 approx 1196,94 1207,9 + 10,964 approx 1218,86

Resposta

O intervalo de confiança de 95% para a média mu é aproximadamente de 1196,94 a 1218,86 grãos por minuto.

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