A função P(t)=10+100 tt^2+9, t >= 0 descreve o número de indivíduos de um certo tipo de pássaro que foi introduzido numa ilha norte americana.
Calcular P^prime(t);

Passo 1

A função dada é P(t)=10+100tt^2+9. Queremos encontrar P'(t). Para isso, vamos usar a regra da soma de derivadas e a regra do quociente, além de derivadas básicas de monômios e constantes. Observa que a derivada de uma constante é zero, então basta derivar Q(t)=100tt^2+9. Para aplicar a regra do quociente, definimos u(t)=100t e v(t)=t^2+9.

Passo 2

Calcula as derivadas u'(t) e v'(t). Como u(t)=100t, temos u'(t)=100. E como v(t)=t^2+9, temos v'(t)=2t.

Passo 3

Aplica a regra do quociente:
Q'(t)=u'(t),v(t)-u(t),v'(t)[v(t)]^2
Substitui u(t), u'(t), v(t) e v'(t) na fórmula:
Q'(t)=100(t^2+9)-100tcdot2t(t^2+9)^2

Passo 4

Simplifica o numerador: 100t^2+900-200t^2=900-100t^2=100(9-t^2). Daí obtemos
Q'(t)=100(9-t^2)(t^2+9)^2

Resposta

P'(t)=100(9-t^2)(t^2+9)^2

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