Uma função que desempenha uma papel muito importante em estatística é função gama que é dada por:
Responda os itens a seguir:
a) Prove que, para , a integral converge.
b) Calcule .
c) Mostre que .
d) Calcule , com natural e diferente de zero.
e) Sabendo que , calcule .
Passo 1
Ok, vamos dar uma olhada nesse exercício sobre a função gama, que é super importante em estatística. A função gama é definida pela integral para . Para resolver os itens a seguir, vamos precisar entender conceitos de cálculo integral e propriedades da função gama.
Passo 2
Item a) Queremos provar que a integral converge para . Isso significa que a área sob a curva dessa função existe e é finita.
Para isso, analisamos o comportamento da função quando se aproxima de 0 e de :
Para : A função domina. Como , tende a 0 se ou a se . Porém, o termo tende a 1, então a integral é finita perto de 0.
Para : O termo decai exponencialmente, o que faz com que a função inteira tenda a 0 rapidamente, garantindo a convergência.
Portanto, a integral converge para .
Passo 3
Item b) Vamos calcular .
Usando a definição da função gama:
A integral de de 0 a é uma integral conhecida:
Portanto, .
Passo 4
Item c) Precisamos mostrar que para .
Vamos usar a definição da função gama para :
Vamos integrar por partes, escolhendo:
Aplicando a integração por partes:
O primeiro termo -x^alpha e^-x |0^+infty tende a 0 para ambos os limites. Assim, ficamos com:
Gamma(alpha+1) = alpha Gamma(alpha)
Isso confirma a relação desejada.
Passo 5
Item d) Vamos calcular Gamma(n) para n natural e diferente de zero.
Usando a relação que acabamos de demonstrar:
Gamma(n) = (n-1) Gamma(n-1)
E sabemos que Gamma(1) = 1. Então, aplicando essa relação repetidamente: