Uma função que desempenha uma papel muito importante em estatística é função gama que é dada por:
Gamma(alpha)=integral0^+infty e^-x x^alpha-1 d x, alpha>0
Responda os itens a seguir:
a) Prove que, para alpha>0, a integral integral0^+infty e^-x x^alpha-1 d x converge.
b) Calcule Gamma(1).
c) Mostre que Gamma(alpha+1)=alpha Gamma(alpha), alpha>0.
d) Calcule Gamma(n), com n natural e diferente de zero.
e) Sabendo que integral-infty^+infty e^-x^2 d x=raizpi, calcule Gamma(12).

Passo 1

Ok, vamos dar uma olhada nesse exercício sobre a função gama, que é super importante em estatística. A função gama é definida pela integral Gamma(alpha) = integral0^+infty e^-x x^alpha-1 dx para alpha > 0. Para resolver os itens a seguir, vamos precisar entender conceitos de cálculo integral e propriedades da função gama.

Passo 2

Item a) Queremos provar que a integral integral0^+infty e^-x x^alpha-1 dx converge para alpha > 0. Isso significa que a área sob a curva dessa função existe e é finita.
Para isso, analisamos o comportamento da função e^-x x^alpha-1 quando x se aproxima de 0 e de +infty:
  • Para x to 0: A função x^alpha-1 domina. Como alpha > 0, x^alpha-1 tende a 0 se alpha -1 > 0 ou a +infty se alpha -1 < 0. Porém, o termo e^-x tende a 1, então a integral é finita perto de 0.
  • Para x to +infty: O termo e^-x decai exponencialmente, o que faz com que a função inteira tenda a 0 rapidamente, garantindo a convergência.
Portanto, a integral converge para alpha > 0.

Passo 3

Item b) Vamos calcular Gamma(1).
Usando a definição da função gama:
Gamma(1) = integral0^+infty e^-x x^1-1 dx = integral0^+infty e^-x dx
A integral de e^-x de 0 a +infty é uma integral conhecida:
integral0^+infty e^-x dx = 1
Portanto, Gamma(1) = 1.

Passo 4

Item c) Precisamos mostrar que Gamma(alpha+1) = alpha Gamma(alpha) para alpha > 0.
Vamos usar a definição da função gama para Gamma(alpha+1):
Gamma(alpha+1) = integral0^+infty e^-x x^alpha dx
Vamos integrar por partes, escolhendo:
  • u = x^alpha Rightarrow du = alpha x^alpha -1 dx
  • dv = e^-x dx Rightarrow v = -e^-x
Aplicando a integração por partes:
Gamma(alpha+1) = -x^alpha e^-x |0^+infty + alpha integral0^+infty e^-x x^alpha -1 dx
O primeiro termo -x^alpha e^-x |0^+infty tende a 0 para ambos os limites. Assim, ficamos com:
Gamma(alpha+1) = alpha Gamma(alpha)
Isso confirma a relação desejada.

Passo 5

Item d) Vamos calcular Gamma(n) para n natural e diferente de zero.
Usando a relação que acabamos de demonstrar:
Gamma(n) = (n-1) Gamma(n-1)
E sabemos que Gamma(1) = 1. Então, aplicando essa relação repetidamente:
Gamma(n) = (n-1) Gamma(n-1) = (n-1)(n-2) Gamma(n-2) = dots = (n-1)!
Portanto, Gamma(n) = (n-1)! para n in N, n >= 1.

Passo 6

Item e) Sabemos que integral-infty^+infty e^-x^2 dx = raizpi. Queremos calcular Gamma(12).
Usando a definição da função gama para alpha = 12:
Gamma(12) = integral0^+infty e^-x x^-1/2 dx
Fazendo a substituição x = t^2, onde dx = 2t dt, temos:
Gamma(12) = integral0^+infty e^-t^2 cdot t^-1 cdot 2t dt = 2 integral0^+infty e^-t^2 dt
Sabemos que integral0^+infty e^-t^2 dt = raizpi2, então:
Gamma(12) = 2 cdot raizpi2 = raizpi

Resposta

a) A integral integral0^+infty e^-x x^alpha-1 dx converge para alpha > 0.
b) Gamma(1) = 1.
c) Gamma(alpha+1) = alpha Gamma(alpha) para alpha > 0.
d) Gamma(n) = (n-1)! para n natural e diferente de zero.
e) Gamma(12) = raizpi.

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