Use a substituição / para mostrar que

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que resolver a integral integral0^+infty ln x1+x^2 dx usando a substituição u = 1x. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com métodos de substituição para simplificar integrais. Vamos precisar entender como mudar as variáveis e ajustar os limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição u = 1x. Isso significa que x = 1u. Agora, precisamos encontrar a expressão para dx em termos de du. Derivando ambos os lados em relação a u:
dxdu = -1u^2 implies dx = -1u^2 du

Passo 3

Agora, vamos ajustar os limites de integração para a nova variável u. Quando x vai de 0 a +infty:
  • Quando x to 0^+, u = 1x to +infty.
  • Quando x to +infty, u = 1x to 0^+.
Portanto, os novos limites de integração para u são de +infty a 0.

Passo 4

Substituindo tudo na integral original:
integral0^+infty ln x1+x^2 dx = integral+infty^0 ln ( 1u )1 + ( 1u )^2 ( -1u^2 du )
Vamos simplificar a expressão:
= integral0^+infty -ln u1 + 1u^2 cdot 1u^2 du = integral0^+infty -ln uu^2+1u^2 cdot 1u^2 du
= integral0^+infty -ln u cdot u^2u^2 + 1 cdot 1u^2 du = -integral0^+infty ln u1 + u^2 du

Passo 5

Observamos que a integral transformada é igual a menos a integral original:
integral0^+infty ln x1+x^2 dx = -integral0^+infty ln u1 + u^2 du
Isso significa que:
I = -I implies 2I = 0 implies I = 0

Resposta

A integral vale 0.

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