Suponha
. Use a substituição
para mostrar que
Passo 1
Então, a gente tem uma integral que envolve o logaritmo de
dividido por
, e precisamos resolver isso usando a substituição
. Vamos lá! Isso está dentro do tópico de cálculo integral, mais especificamente em integrais envolvendo funções racionais e logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida:
. Isso significa que
. Agora, vamos encontrar
em termos de
:
Passo 3
Vamos substituir
e
na integral original:
Note que os limites de integração mudam porque
vai de
a
, então
vai de
a
. O sinal negativo do
vai inverter os limites novamente.
Passo 4
Simplificando a integral:
Passo 5
Agora, vamos simplificar o denominador:
Substituindo de volta:
Passo 6
Agora, podemos dividir a integral em duas partes:
Sabemos que:
E, por simetria, a segunda integral é igual a zero porque
é uma função ímpar em relação à substituição
.
Passo 7
Portanto, a integral original fica: