Suponha . Use a substituição para mostrar que

Passo 1

Então, a gente tem uma integral que envolve o logaritmo de x dividido por a^2 + x^2 , e precisamos resolver isso usando a substituição u = ax . Vamos lá! Isso está dentro do tópico de cálculo integral, mais especificamente em integrais envolvendo funções racionais e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição sugerida: u = ax . Isso significa que x = au . Agora, vamos encontrar dx em termos de du :
dx = -au^2 du

Passo 3

Vamos substituir x e dx na integral original:
integral0^+infty ln xa^2+x^2 dx = integral+infty^0 ln(au)a^2 + (au)^2 (-au^2) du
Note que os limites de integração mudam porque x vai de 0 a +infty , então u vai de +infty a 0 . O sinal negativo do dx vai inverter os limites novamente.

Passo 4

Simplificando a integral:
= integral0^+infty ln(au)a^2 + a^2u^2 cdot au^2 du
= integral0^+infty ln a - ln ua^2 (1 + 1u^2) cdot au^2 du
= integral0^+infty (ln a - ln u) aa^2(1 + 1u^2) u^2 du
= integral0^+infty ln a - ln ua (1 + 1u^2) u^2 du

Passo 5

Agora, vamos simplificar o denominador:
1 + 1u^2 = u^2 + 1u^2
Substituindo de volta:
= integral0^+infty ln a - ln ua cdot u^2 + 1u^2 cdot u^2 du
= integral0^+infty ln a - ln ua (u^2 + 1) du

Passo 6

Agora, podemos dividir a integral em duas partes:
= ln aa integral0^+infty 1u^2 + 1 du - 1a integral0^+infty ln uu^2 + 1 du
Sabemos que:
integral0^+infty 1u^2 + 1 du = pi2
E, por simetria, a segunda integral é igual a zero porque ln u é uma função ímpar em relação à substituição u to 1u .

Passo 7

Portanto, a integral original fica:
= ln aa cdot pi2 - 1a cdot 0 = pi ln a2 a

Resposta

integral0^+infty ln xa^2+x^2 d x = pi ln a2 a

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