A função f(x), determinada no campo simétrico -l<x<l, chama-se par, se f(-x)=f(x), e impar, se f(-x)=-f(x). Verificar quais das funções dadas são pares e quais são impares:
f(x)=lg (x+raiz1+x^2)

Passo 1

O enunciado define a paridade de uma função f em domínio simétrico -l<x<l: ela é par se
f(-x)=f(x)
e ímpar se
f(-x)=-f(x)
Aqui temos
f(x)=lgl(x+raiz1+x^2r),
cujo domínio é todo R, que é simétrico. Vamos calcular f(-x) e comparar com f(x).

Passo 2

Calculemos o argumento de f(-x):
-x+raiz1+(-x)^2 =-x+raiz1+x^2
Para relacionar isso com x+raiz1+x^2, usamos a “racionalização”:
-x+raiz1+x^2 =l(raiz1+x^2-xr)l(raiz1+x^2+xr)raiz1+x^2+x =1+x^2 - x^2x+raiz1+x^2 =1x+raiz1+x^2

Passo 3

Logo,
f(-x) =lg!l(-x+raiz1+x^2r) =lg!l(tfrac1x+raiz1+x^2r)
Pela propriedade dos logaritmos,
lg!l(tfrac1Ar) =-lg(A)
Aqui A = x+raiz1+x^2, então
f(-x) = -lgl(x+raiz1+x^2r) = -f(x)

Passo 4

Como obtivemos f(-x)=-f(x) para todo xinR, concluímos que f é uma função ímpar.

Resposta

A função f(x)=lgl(x+raiz1+x^2r) é ímpar.

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