Para a função f(x)=raizx+1, determine de<a>0 tal que 0<|x-3|<de<a Rightarrow|f(x)-2|<0,2.

Passo 1

O enunciado pede que, dado f(x)=raizx+1, a gente encontre um de<a>0 tal que
0<|x-3|<de<aLongrightarrow|f(x)-2|<0,2
O conteúdo aqui é a definição de limite (ou continuidade) em termos de varepsilon- de<a: queremos que a distância de f(x) a f(3)=2 fique abaixo de varepsilon=0,2 sempre que x estiver suficientemente próximo de 3.

Passo 2

Começamos traduzindo a condição |f(x)-2|<0,2:
|,raizx+1-2,|<0,2 Long<=ftrightarrow -0,2<raizx+1-2<0,2 Long<=ftrightarrow 1,8<raizx+1<2,2

Passo 3

Agora elevamos cada parte ao quadrado (como todos os termos são positivos):
1,8^2< x+1<2,2^2 Long<=ftrightarrow 3,24< x+1<4,84 Long<=ftrightarrow 2,24< x<3,84
Para garantir isso sempre que 0<|x-3|<de<a, basta escolher
de<a<=minl(3-2,24,;3,84-3r) =min(0,76,;0,84) =0,76

Resposta

Uma escolha válida é de<a=0,76, pois 0<|x-3|<0,76 implica 2,24<x<3,84 e daí |raizx+1-2|<0,2.

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