Resolver as equações diferenciais do 2^circ tipo:
d yd x=e^y / x+yx

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem
dydx=e^y/x+yx
Note que o lado direito depende só da razão y/x, ou seja, é uma equação homogênea. Vamos usar a substituição
y=tx

Passo 2

Se y=tx, então
dydx=t + xdtdx
Substituindo na equação original, vem
t + xdtdx=e^t + t
Podemos cancelar t dos dois lados, ficando
xdtdx=e^t

Passo 3

Agora é uma equação separável. Separamos variáveis:
dte^t=dxx
Integramos ambos os lados:
integral e^-t,dt=integral dxx Longrightarrow -,e^-t=lnlvert xrvert + C

Passo 4

Voltando a t=y/x e reunindo constantes, a solução implícita fica
e^-y/x + lnlvert xrvert = C1,
onde C1 é a constante de integração.

Resposta

e^-y/x + lnlvert xrvert = C

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