Use a definição de limite para mostrar que:
lim x 2(x^3+1)=9

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição de limite, que
limxto2l(x^3+1r)=9
Isto significa mostrar que para todo varepsilon>0 existe de<a>0 tal que, sempre que 0<|x-2|<de<a, temos
l|x^3+1-9r|<varepsilon

Passo 2

Vamos analisar a diferença entre a função e o valor de limite:
l|x^3+1-9r| = l|x^3-8r|
Como x^3-8 = (x-2)(x^2+2x+4), temos
l|x^3-8r| = |x-2|cdotl|x^2+2x+4r|

Passo 3

Para controlar o fator l|x^2+2x+4r|, restringimos x a um intervalo em torno de 2. Por exemplo, se exigirmos
|x-2|<1,
então 1<x<3 e daí
x^2+2x+4 <= 3^2 + 2cdot3 +4 = 9 + 6 +4 = 19
Logo, sob a condição |x-2|<1, vale
l|x^2+2x+4r|<=19

Passo 4

Com essa estimativa, quando 0<|x-2|<min1,de<a temos
l|x^3+1-9r| = |x-2|cdotl|x^2+2x+4r|<=19,|x-2|<19,de<a
Para garantir 19,de<a<varepsilon, basta escolher
de<a <= varepsilon19

Passo 5

Portanto, dada qualquer varepsilon>0, se definirmos
de<a = minl1,varepsilon19r,
então sempre que 0<|x-2|<de<a teremos
l|x^3+1-9r|<varepsilon. Assim, pela definição de limite,
limxto2l(x^3+1r)=9

Resposta

Para cada varepsilon>0, basta tomar
de<a = minl1,varepsilon19r
para satisfazer a definição de limite e concluir que limxto2(x^3+1)=9.

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