Use a definição de limite para mostrar que:
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando a definição de limite, que
Isto significa mostrar que para todo
existe
tal que, sempre que
, temos
Passo 2
Vamos analisar a diferença entre a função e o valor de limite:
Como
x^3-8 = (x-2)(x^2+2x+4) , temos
Passo 3
Para controlar o fator
l|x^2+2x+4r| , restringimos
x a um intervalo em torno de
2 . Por exemplo, se exigirmos
então
1<x<3 e daí
Logo, sob a condição
|x-2|<1 , vale
Passo 4
Com essa estimativa, quando
0<|x-2|<min1,de<a temos
Para garantir
19,de<a<varepsilon , basta escolher
Passo 5
Portanto, dada qualquer
varepsilon>0 , se definirmos
então sempre que
0<|x-2|<de<a teremos
l|x^3+1-9r|<varepsilon . Assim, pela definição de limite,
Resposta
Para cada
varepsilon>0 , basta tomar
para satisfazer a definição de limite e concluir que
limxto2(x^3+1)=9 .