Verifique se as funções dadas são soluções das equações diferenciais:
0 & , x<0 x^3 & , x >= 0

Passo 1

Temos a equação diferencial (y')^2 = 9,x,y e a função dada por
y(x)= 0, & x<0, x^3, & x>=0
Vamos verificar se essa função satisfaz a EDO em cada parte do domínio e se é diferenciável em x=0.

Passo 2

Para x<0:
Como y(x)=0, temos
y'=0
Substituindo na EDO:
(y')^2 = 0^2 = 0,
9xy = 9cdot xcdot 0 = 0
Logo (y')^2 = 9xy vale para todo x<0.

Passo 3

Para x>0:
Aqui y(x)=x^3, então
y'=3x^2
Substituindo:
(y')^2 = (3x^2)^2 = 9x^4,
9xy = 9cdot xcdot x^3 = 9x^4
Portanto a EDO também vale para todo x>0.

Passo 4

No ponto x=0:
Calculamos a derivada lateral esquerda ( x<0) e direita ( x>0): ambas são zero. Ou seja,
limxto0^-y'=0, limxto0^+y'=0,
então y'(0)=0. Substituindo em (y')^2=9xy em x=0 0=0.

Passo 5

Verificamos que em cada região e no ponto de junção a função é diferenciável e satisfaz (y')^2=9xy.

Resposta

Sim, a função dada é solução da equação diferencial (y')^2 = 9xy em todo o domínio real.

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