Nos itens abaixo,
denota o cilindro fechado com base dada por
e topo dado por
, e superfície lateral dada pela equação
. Oriente
com vetores normais para fora. Determine o valor das integrais abaixo:
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é a superfície fechada do cilindro de raio
, com base em
, topo em
e lateral
. Vamos usar a decomposição de
em base, topo e lateral.
Passo 2
Escrevemos
A base e o topo são discos em planos horizontais; a lateral é o cilindro parametrizado por
.
Passo 3
Na base
o elemento
no disco
e
Como a região é simétrica em
, a integral de
é zero:
Passo 4
No topo
também
no mesmo disco e
que por simetria em
também vale zero:
Passo 5
Na lateral usamos a parametrização
com
. Então
Como
, segue