Nos itens abaixo, S denota o cilindro fechado com base dada por z=0 e topo dado por z=4, e superfície lateral dada pela equação x^2+y^2=9. Oriente S com vetores normais para fora. Determine o valor das integrais abaixo:
integral duplaS y d S;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral duplaS y,dS
onde S é a superfície fechada do cilindro de raio 3, com base em z=0, topo em z=4 e lateral x^2+y^2=9. Vamos usar a decomposição de S em base, topo e lateral.

Passo 2

Escrevemos
integral duplaS y,dS =integral duplabasey,dS +integral duplatopoy,dS +integral duplalateraly,dS
A base e o topo são discos em planos horizontais; a lateral é o cilindro parametrizado por (3costheta,3sintheta,z).

Passo 3

Na base z=0 o elemento dS=dA no disco x^2+y^2<=9 e
integral duplabasey,dS =integral duplax^2+y^2<=9y,dA
Como a região é simétrica em y, a integral de y é zero:
integral duplabasey,dS=0

Passo 4

No topo z=4 também dS=dA no mesmo disco e
integral duplatopoy,dS =integral duplax^2+y^2<=9y,dA,
que por simetria em y também vale zero:
integral duplatopoy,dS=0

Passo 5

Na lateral usamos a parametrização
x=3costheta, y=3sintheta, 0<= z<=4, 0<=theta<=2pi,
com dS=3,dtheta,dz. Então
integral duplalateraly,dS =integral0^2pi!integral0^4(3sintheta),(3,dz,dtheta) =9integral0^2pisintheta,dthetaintegral0^4dz
Como integral0^2pisintheta,dtheta=0, segue
integral duplalateraly,dS=0

Resposta

integral duplaSy,dS=0

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