Nos itens abaixo, S denota o cilindro fechado com base dada por z=0 e topo dado por z=4, e superfície lateral dada pela equação x^2+y^2=9. Oriente S com vetores normais para fora. Determine o valor das integrais abaixo:
integral duplaS x^2 d S;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de superfície
integral duplaS x^2,dS
onde S é o cilindro fechado de raio 3 e altura 4 (base em z=0, topo em z=4 e superfície lateral x^2+y^2=9).
O conteúdo aqui é a integração de uma função escalar sobre uma superfície, que podemos fazer dividindo S em três partes: a superfície lateral Slat, a base inferior Sinf e a base superior Ssup, e depois somando os resultados.

Passo 2

Escrevemos
integral duplaS x^2,dS =integral duplaSlatx^2,dS +integral duplaSinfx^2,dS +integral duplaSsupx^2,dS
Para cada parte, escolhemos coordenadas polares adequadas.

Passo 3

Superfície lateral Slat: parametrize por
x=3costheta, y=3sintheta, z=z, 0<=theta<=2pi,;0<= z<=4
Nesse caso dS=3,dtheta,dz e x^2=9cos^2theta. Logo
integral duplaSlatx^2,dS =integral0^2pi!!integral0^49cos^2theta,(3,dz,dtheta) =27integral0^2picos^2theta,dtheta;integral0^4dz
Como integral0^2picos^2theta,dtheta=pi e integral0^4dz=4, temos
integral duplaSlatx^2,dS =27cdotpicdot4 =108pi

Passo 4

Base inferior Sinf (disco em z=0): em coordenadas polares (r,theta),
x=rcostheta, y=rsintheta, 0<= r<=3,;0<=theta<=2pi,
com dS=r,dr,dtheta e x^2=r^2cos^2theta. Assim
integral duplaSinfx^2,dS =integral0^2pi!!integral0^3r^2cos^2theta;(r,dr,dtheta) =integral0^2picos^2theta,dtheta;integral0^3r^3dr
Temos integral0^2picos^2theta,dtheta=pi e integral0^3r^3dr=tfrac3^44=tfrac814. Logo
integral duplaSinfx^2,dS =pi;814 =81pi4

Passo 5

Base superior Ssup (disco em z=4): a integral é exatamente a mesma da base inferior, pois x e a região em xy não mudam. Logo
integral duplaSsupx^2,dS =81pi4

Passo 6

Somando as três partes,
integral duplaSx^2,dS =108pi + 81pi4 + 81pi4 =108pi + 162pi4 =108pi + 81pi2 =216pi+81pi2 =297pi2

Resposta

integral duplaSx^2,dS = 297pi2

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