Nos itens abaixo,
denota o cilindro fechado com base dada por
e topo dado por
, e superfície lateral dada pela equação
. Oriente
com vetores normais para fora. Determine o valor das integrais abaixo:
;
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de superfície
onde
é o cilindro fechado de raio
e altura
(base em
, topo em
e superfície lateral
).
O conteúdo aqui é a integração de uma função escalar sobre uma superfície, que podemos fazer dividindo em três partes: a superfície lateral
, a base inferior
e a base superior
, e depois somando os resultados.
O conteúdo aqui é a integração de uma função escalar sobre uma superfície, que podemos fazer dividindo
Passo 2
Escrevemos
Para cada parte, escolhemos coordenadas polares adequadas.
Passo 3
Superfície lateral
: parametrize por
Nesse caso
e
. Logo
Como
e
, temos
Passo 4
Base inferior
(disco em
): em coordenadas polares
,
com
e
. Assim
Temos
e
. Logo
Passo 5
Base superior
(disco em
): a integral é exatamente a mesma da base inferior, pois
e a região em
não mudam. Logo
Passo 6
Somando as três partes,