Prove que se
é diferenciável em
, então
é contínua em
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que se uma função
é diferenciável em um ponto
, então ela também é contínua nesse ponto. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de diferenciabilidade e continuidade.
Passo 2
Sabemos que uma função
ser diferenciável em
significa que o limite
existe e é igual a
, a derivada de
em
.
Passo 3
Por outro lado, para uma função
ser contínua em
, precisamos que
ou seja, o limite de
quando
se aproxima de
é igual ao valor da função em
.
Passo 4
Vamos mostrar que a diferenciabilidade implica continuidade. Se
é diferenciável em
, então podemos escrever
onde
representa um termo que vai a zero mais rápido que
quando
tende a zero.
Passo 5
Dividindo ambos os lados por
:
Quando
,
, então temos que
Passo 6
Isso nos mostra que
tem derivada em
, ou seja, o limite acima existe. Agora, para continuidade, precisamos apenas que
Passo 7
Da equação no Passo 4, sabemos que
Passo 8
Portanto,
é contínua em
.
Resposta
Concluímos que se
é diferenciável em
, então
é contínua em
.