Prove que se f é diferenciável em x0, então f é contínua em x0.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que se uma função f é diferenciável em um ponto x0 , então ela também é contínua nesse ponto. Para isso, vamos precisar entender os conceitos de diferenciabilidade e continuidade.

Passo 2

Sabemos que uma função f ser diferenciável em x0 significa que o limite
limh to 0 f(x0 + h) - f(x0)h
existe e é igual a f'(x0) , a derivada de f em x0 .

Passo 3

Por outro lado, para uma função f ser contínua em x0 , precisamos que
limx to x0 f(x) = f(x0)
ou seja, o limite de f(x) quando x se aproxima de x0 é igual ao valor da função em x0 .

Passo 4

Vamos mostrar que a diferenciabilidade implica continuidade. Se f é diferenciável em x0 , então podemos escrever
f(x0 + h) = f(x0) + f'(x0) cdot h + o(h)
onde o(h) representa um termo que vai a zero mais rápido que h quando h tende a zero.

Passo 5

Dividindo ambos os lados por h :
f(x0 + h) - f(x0)h = f'(x0) + o(h)h
Quando h to 0 , o(h)h to 0 , então temos que
limh to 0 f(x0 + h) - f(x0)h = f'(x0)

Passo 6

Isso nos mostra que f tem derivada em x0 , ou seja, o limite acima existe. Agora, para continuidade, precisamos apenas que
limh to 0 f(x0 + h) = f(x0)

Passo 7

Da equação no Passo 4, sabemos que
limh to 0 f(x0 + h) = f(x0) + limh to 0 (f'(x0) cdot h + o(h)) = f(x0)

Passo 8

Portanto, f é contínua em x0 .

Resposta

Concluímos que se f é diferenciável em x0 , então f é contínua em x0 .

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