A função distribuição acumulada de probabilidade de uma variável aleatória Y é dada por:
y 1 2 3 4 5
\mathrm{~F}(\mathrm{y}) 1 / 10 2 / 10 3 k 4 k 5 k
a) Encontre o valor de k;
b) Encontre a distribuição de probabilidade de Y;
c) Calcule E\left(Y^{2}\right);
d) Calcule a \mathrm{V}(\mathrm{Y}).

Passo 1

O enunciado fornece a função distribuição acumulada de uma variável aleatória discreta Y para os pontos y=1,2,3,4,5, com
F(1)=\tfrac{1}{10},\quad F(2)=\tfrac{2}{10},\quad F(3)=3k,\quad F(4)=4k,\quad F(5)=5k.
Precisamos achar o valor de k, a distribuição de probabilidade p(y)=P(Y=y), calcular E(Y^2) e depois \mathrm{Var}(Y). Lembrando que para variáveis discretas vale
p(y)=F(y)-F(y^-),\quad F(5)=1,\quad E(Y)=\sum_y y\,p(y),\quad E(Y^2)=\sum_y y^2\,p(y),\quad \mathrm{Var}(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2.

Passo 2

Como F é função acumulada, tem F(5)=1. Logo 5k=1
e
k=\frac{1}{5}.

Passo 3

Usando p(y)=F(y)-F(y^-), obtemos
p(1)=F(1)=\frac{1}{10},\quad p(2)=F(2)-F(1)=\frac{2}{10}-\frac{1}{10}=\frac{1}{10},
p(3)=F(3)-F(2)=3k-\frac{2}{10}=\frac{3}{5}-\frac{1}{5}=\frac{2}{5},
p(4)=F(4)-F(3)=4k-3k=\frac{4}{5}-\frac{3}{5}=\frac{1}{5},\quad p(5)=F(5)-F(4)=1-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}.
Confere que \sum_{y=1}^5p(y)=1.

Passo 4

Para calcular E(Y^2) usamos
E(Y^2)=\sum_{y=1}^{5}y^2\,p(y) =1^2\cdot\tfrac{1}{10}+2^2\cdot\tfrac{1}{10}+3^2\cdot\tfrac{2}{5}+4^2\cdot\tfrac{1}{5}+5^2\cdot\tfrac{1}{5}
=\frac{1}{10}+\frac{4}{10}+\frac{18}{5}+\frac{16}{5}+\frac{25}{5} =0.1+0.4+3.6+3.2+5=12.3.

Passo 5

Primeiro calculamos
E(Y)=\sum_{y=1}^{5}y\,p(y) =1\cdot\tfrac{1}{10}+2\cdot\tfrac{1}{10}+3\cdot\tfrac{2}{5}+4\cdot\tfrac{1}{5}+5\cdot\tfrac{1}{5} =3.3.
Então
\mathrm{Var}(Y)=E(Y^2)-[E(Y)]^2=12.3-(3.3)^2=12.3-10.89=1.41.

Resposta

k=\tfrac{1}{5} p(1)=\tfrac{1}{10},\;p(2)=\tfrac{1}{10},\;p(3)=\tfrac{2}{5},\;p(4)=\tfrac{1}{5},\;p(5)=\tfrac{1}{5} E(Y^2)=12.3 \mathrm{Var}(Y)=1.41

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