Se X é uma variável aleatória contínua, onde x \in[0,8], \operatorname{com} F(X)=x^{2} / 64.
a) Calcule \mathrm{P}(\mathrm{X}>3);
b) Encontre a f (x);
c) Calcule E(X).

Passo 1

O enunciado diz que X é contínua em [0,8] com função de distribuição acumulada
F(x)=\frac{x^{2}}{64},\quad 0\le x\le8.
Precisamos usar:
– Para (a), a regra do complemento P(X>3)=1-P(X\le3).
– Para (b), a relação f(x)=F'(x).
– Para (c), a definição de valor esperado E(X)=\displaystyle\int_{0}^{8}x\,f(x)\,dx.

Passo 2

Para (a),
P(X>3)=1-P(X\le3)=1-F(3)=1-\frac{3^{2}}{64}=1-\frac{9}{64}=\frac{55}{64}.

Passo 3

Para (b), derivamos F(x) no intervalo [0,8]:
f(x)=F'(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{x^{2}}{64}\Bigr)=\frac{2x}{64}=\frac{x}{32}, \quad 0\le x\le8,
e f(x)=0 fora desse intervalo.

Passo 4

Para (c),
E(X)=\int_{0}^{8}x\,f(x)\,dx =\int_{0}^{8}x\cdot\frac{x}{32}\,dx =\frac{1}{32}\int_{0}^{8}x^{2}\,dx =\frac{1}{32}\Bigl[\frac{x^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{8} =\frac{1}{32}\cdot\frac{512}{3} =\frac{16}{3}.

Resposta

a) \displaystyle P(X>3)=\tfrac{55}{64}.\) b) \(\displaystyle f(x)=\begin{cases}\tfrac{x}{32},&0\le x\le8,\\\ 0,&\text{c.c.}\end{cases}
c) \displaystyle E(X)=\tfrac{16}{3}.

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