Seja X uma variável aleatória contínua com a seguinte função densidade de probabilidade:
f(x)= \begin{cases}a x^{2}, & -1 \leq x \leq 0 \\\\ 2, & 0<x<a \\\\ 0, & \text { caso contrário }\end{cases}á
a) Encontre o valor de a;
b) Calcule V(X).

Passo 1

O enunciado fornece a densidade
f(x)= \begin{cases} a\,x^{2}, & -1\le x\le 0,\\\\ 2, & 0<x<a,\\\\ 0, & \text{caso contrário}, \end{cases}á
e pede (a) o valor de a usando a condição \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx=1 e (b) a variância V(X)=E[X^{2}]-(E[X])^{2}.

Passo 2

Impondo a normalização
\int_{-1}^{0}a\,x^{2}\,dx \;+\;\int_{0}^{a}2\,dx \;=\;1.
Calculamos
\int_{-1}^{0}a\,x^{2}\,dx =a\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{0} =a\bigl(0-(-\tfrac13)\bigr) =\frac{a}{3},
e
\int_{0}^{a}2\,dx=2a.
Logo
\frac{a}{3}+2a=1 \quad\Longrightarrow\quad a\Bigl(\tfrac{1}{3}+2\Bigr)=1 \quad\Longrightarrow\quad a=\frac{3}{7}.

Passo 3

Calculamos E[X].
E[X] =\int_{-1}^{0}x\,(a\,x^{2})\,dx +\int_{0}^{a}x\cdot 2\,dx.
No primeiro termo
\int_{-1}^{0}a\,x^{3}\,dx =a\left[\frac{x^{4}}{4}\right]_{-1}^{0} =a\bigl(0-\tfrac{1}{4}\bigr) =-\frac{a}{4},
e no segundo
\int_{0}^{a}2x\,dx =\left[x^{2}\right]_{0}^{a} =a^{2}.
Substituindo a=\tfrac{3}{7}
E[X] =-\frac{1}{4}\cdot\frac{3}{7}+\Bigl(\frac{3}{7}\Bigr)^{2} =-\frac{3}{28}+\frac{9}{49} =\frac{15}{196}.

Passo 4

Calculamos E[X^{2}].
E[X^{2}] =\int_{-1}^{0}x^{2}(a\,x^{2})\,dx +\int_{0}^{a}x^{2}\cdot 2\,dx.
No primeiro termo
\int_{-1}^{0}a\,x^{4}\,dx =a\left[\frac{x^{5}}{5}\right]_{-1}^{0} =a\bigl(0-\!(-\tfrac{1}{5})\bigr) =\frac{a}{5},
e no segundo
\int_{0}^{a}2x^{2}\,dx =2\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{a} =\frac{2a^{3}}{3}.
Com a=\tfrac{3}{7} resulta
E[X^{2}] =\frac{1}{5}\cdot\frac{3}{7} +\frac{2}{3}\bigl(\tfrac{3}{7}\bigr)^{3} =\frac{3}{35}+\frac{18}{343} =\frac{237}{1715}.

Passo 5

A variância é
V(X)=E[X^{2}]-(E[X])^{2} =\frac{237}{1715}-\Bigl(\frac{15}{196}\Bigr)^{2} \approx 0{,}1323.

Resposta

a) \displaystyle a=\frac{3}{7}.
b) \displaystyle V(X)=\frac{237}{1715}-\Bigl(\frac{15}{196}\Bigr)^{2}\approx0{,}1323.

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