A variável aleatória discreta X, tem a seguinte função de probabilidade:
P(X=x)=\left\{\begin{array}{l}k x, x=2,4,6 \\\ k(x-2), x=8 \\\\ 0, \text { outros valores }\end{array}\right.
a) Encontre a constante k ;
b) Calcule o valor \mathrm{F}(5).

Passo 1

O enunciado define a variável aleatória discreta X\) com suporte \(\{2,4,6,8\}\) e \[P(X=x)= \begin{cases} k\,x, & x=2,4,6,\\\ k\,(x-2), & x=8,\\\\ 0, &\text{outros valores}. \end{cases}
Precisamos (a) encontrar o valor de k\] usando a condição de normalização \(\sum_xP(X=x)=1 e (b) calcular a função de distribuição acumulada em 5, ou seja,
F(5)=P(X\le5).

Passo 2

Aplicamos a condição de normalização:
\sum_{x\in\{2,4,6,8\}}P(X=x)=1
ou seja
k\cdot2 \;+\; k\cdot4 \;+\; k\cdot6 \;+\; k\,(8-2)\;=\;1.

Passo 3

Somando os coeficientes dentro do parêntese:
2+4+6+(8-2)=2+4+6+6=18,
logo
k\cdot18=1 \quad\Longrightarrow\quad k=\frac{1}{18}.

Passo 4

Para achar F(5)=P(X\le5), somamos as probabilidades em 2 e 4, pois 6 e 8 são maiores que 5:
F(5)=P(X=2)+P(X=4) =\frac{1}{18}\cdot2+\frac{1}{18}\cdot4 =\frac{6}{18} =\frac{1}{3}.

Resposta

a) k=\tfrac{1}{18}.
b) F(5)=\tfrac{1}{3}.

Exercícios relacionados