A variável X tem função de densidade dada por:
f(x)=\left\{\begin{array}{rc} 0, & \text { se } x<-2 \text { ou } x \geq 5 \\\\ 1 / 10, & \text { se }-2 \leq x<0 \\\\ 1 / 10+3 x /(125), & \text { se } 0 \leq x<5 \end{array}\right.
a) Obtenha a função de distribuição de X .
b) Calcule P(X \geq 0) e P(-1<X \leq 2).
c) Determine E(x) e E(g(X)), em que g(X)=4 X+3.

Passo 1

O enunciado dá a densidade de probabilidade de [X) e pede três coisas (a, b e c). As informações fornecidas são:
A função densidade é
f(x)=\begin{cases} 0, & \text{se } x<-2 \text{ ou } x\ge 5,\\[4pt] \dfrac{1}{10}, & \text{se } -2\le x<0,\\[6pt] \dfrac{1}{10}+\dfrac{3x}{125}, & \text{se } 0\le x<5. \end{cases}
As perguntas são:
a) Obter a função de distribuição acumulada F(x)=P(X\le x)\]. b) Calcular \(P(X\ge 0) e P(-1<X\le 2).
c) Determinar E(X) e E(g(X)) com g(X)=4X+3.]

Passo 2

Explicação do que é a função de distribuição (uma mini-aula):
A função de distribuição acumulada F(x) é definida por
F(x)=P(X\le x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt.
Isto significa que, para cada valor de x, somamos (integrando) a densidade desde -\infty até x. Como f é dada por partes, a integral também será por partes, observando o suporte onde f é não nula.

Passo 3

Vamos construir F(x) em cada faixa do suporte.
  1. Se x<-2: como a densidade é zero antes de -2, temos
F(x)=0\qquad (x<-2).
  1. Se -2\le x<0: integrando f(t)=\dfrac{1}{10} de -2 até x,
F(x)=\int_{-\infty}^{x} f(t)\,dt=\int_{-2}^{x}\frac{1}{10}\,dt=\frac{1}{10}(x-(-2))=\frac{x+2}{10}.
  1. Antes de prosseguir, calcule o valor limite em 0^- (chegando a 0 pela esquerda), porque vai aparecer na expressão para x\ge 0:
F(0^-)=\frac{0+2}{10}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}.

Passo 4

Agora para 0\le x<5: usamos a expressão de f nessa faixa. Pela definição,
F(x)=F(0^-)+\int_{0}^{x}\left(\frac{1}{10}+\frac{3t}{125}\right)\,dt.
Calcule a integral passo a passo:
  • Integral da constante:
\int_{0}^{x}\frac{1}{10}\,dt=\frac{x}{10}.
  • Integral do termo linear:
\int_{0}^{x}\frac{3t}{125}\,dt=\frac{3}{125}\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{3x^{2}}{250}.
Somando e acrescentando F(0^-)=\dfrac{1}{5}, obtemos
F(x)=\frac{1}{5}+\frac{x}{10}+\frac{3x^{2}}{250}\qquad(0\le x<5).
Podemos juntar em um único numerador (denominador 250) se quiser:
F(x)=\frac{50+25x+3x^{2}}{250}\qquad(0\le x<5).

Passo 5

Por fim, para x\ge 5: toda a massa da densidade está no intervalo [-2,5), então
F(x)=1\qquad (x\ge 5).
Verificação rápida (sanidade): avaliando a expressão de F(x) em x=5^{-}
F(5^-)=\frac{50+25\cdot 5+3\cdot 5^{2}}{250}=\frac{50+125+75}{250}=\frac{250}{250}=1,
portanto a CDF é contínua em 5 e termina em 1, como esperado.

Passo 6

Resumo final da função de distribuição F(x) (reunindo as peças):
F(x)=\begin{cases} 0, & x<-2,\\[6pt] \dfrac{x+2}{10}, & -2\le x<0,\\[8pt] \dfrac{1}{5}+\dfrac{x}{10}+\dfrac{3x^{2}}{250}, & 0\le x<5,\\[8pt] 1, & x\ge 5. \end{cases}]

Passo 7

Agora calculamos P(X\ge 0). Duas formas equivalentes: usar a CDF ou integrar a densidade em [0,5). Como X é contínua, P(X=0)=0, então
P(X\ge 0)=1-P(X<0)=1-F(0^-).
Como F(0^-)=\dfrac{1}{5},
P(X\ge 0)=1-\frac{1}{5}=\frac{4}{5}=\;0,8.
Verificação por integral:
\int_{0}^{5}\left(\frac{1}{10}+\frac{3x}{125}\right)\,dx =\left[\frac{x}{10}+\frac{3x^{2}}{250}\right]_{0}^{5}=\frac{5}{10}+\frac{3\cdot 25}{250}=\frac{1}{2}+\frac{75}{250}=\frac{1}{2}+0,3=0,8.

Passo 8

Calcular P(-1<X\le 2). Usamos a CDF:
P(-1<X\le 2)=F(2)-F(-1).
Avalie F(-1): para -1 (está em [-2,0)),
F(-1)=\frac{-1+2}{10}=\frac{1}{10}.
Avalie F(2): para 2 (está em [0,5)), usamos a fórmula
F(2)=\frac{1}{5}+\frac{2}{10}+\frac{3\cdot 2^{2}}{250} =\frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{12}{250} =\frac{2}{5}+\frac{12}{250}.
Colocando em denominador 250: \dfrac{2}{5}=\dfrac{100}{250}, então
F(2)=\frac{100+12}{250}=\frac{112}{250}.
Agora a probabilidade:
P(-1<X\le 2)=\frac{112}{250}-\frac{1}{10}=\frac{112}{250}-\frac{25}{250}=\frac{87}{250}=0,348.

Passo 9

Agora vamos achar E(X). Fórmula e mini-aula:
A esperança de X é
E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x f(x)\,dx,
que, devido ao suporte, vira soma de integrais nas duas partes não nulas:
E(X)=\int_{-2}^{0} x\cdot\frac{1}{10}\,dx+\int_{0}^{5} x\left(\frac{1}{10}+\frac{3x}{125}\right)\,dx.

Passo 10

Calcule cada integral detalhadamente.
Primeira integral:
\int_{-2}^{0} x\cdot\frac{1}{10}\,dx=\frac{1}{10}\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{-2}^{0}=\frac{1}{10}\left(0-\frac{4}{2}\right)=\frac{1}{10}\cdot(-2)=-\frac{1}{5}.
Segunda integral: separar termos
\int_{0}^{5} x\cdot\frac{1}{10}\,dx=\frac{1}{10}\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{5}=\frac{1}{10}\cdot\frac{25}{2}=\frac{25}{20}=\frac{5}{4}.
e
\int_{0}^{5} x\cdot\frac{3x}{125}\,dx=\frac{3}{125}\int_{0}^{5} x^{2}\,dx=\frac{3}{125}\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{5} =\frac{3}{125}\cdot\frac{125}{3}=1.
Somando os dois termos da segunda integral obtemos \dfrac{5}{4}+1=\dfrac{9}{4}.

Passo 11

Somando primeira e segunda integrais:
E(X)=-\frac{1}{5}+\frac{9}{4}=\frac{-4+45}{20}=\frac{41}{20}=2,05.

Passo 12

Agora E(g(X)) com g(X)=4X+3. Mini-aula sobre linearidade da esperança: para qualquer constante a,b,
E(aX+b)=a\,E(X)+b.
Aqui a=4 e b=3. Assim
E(g(X))=4E(X)+3=4\cdot\frac{41}{20}+3=\frac{164}{20}+3=\frac{164+60}{20}=\frac{224}{20}=\frac{56}{5}=11,2.

Resposta

F(x)=\begin{cases} 0, & x<-2,\\[6pt] \dfrac{x+2}{10}, & -2\le x<0,\\[8pt] \dfrac{1}{5}+\dfrac{x}{10}+\dfrac{3x^{2}}{250}, & 0\le x<5,\\[8pt] 1, & x\ge 5, \end{cases}
P(X\ge 0)=\frac{4}{5}=0,8
P(-1<X\le 2)=\frac{87}{250}=0,348
E(X)=\frac{41}{20}=2,05
E(g(X))=\frac{56}{5}=11,2]

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