Uma função é dita par se, para todo x no seu domínio, vale f(x)=f(-x); Uma função é dita ímpar se, para todo x no seu domínio, vale f(x)=-f(-x).
Mostre que o produto de uma função par com uma função ímpar, é uma função ímpar.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se f é par (ou seja, f(x)=f(-x) para todo x) e g é ímpar (ou seja, g(x)=-g(-x) para todo x), então a função produto
h(x)=f(x),g(x)
é ímpar.

Passo 2

Definimos explicitamente
h(x)=f(x),g(x)

Passo 3

Para verificar se h é ímpar, calculamos h(-x). Usando a definição de h, temos
h(-x)=f(-x),g(-x)

Passo 4

Como f é par, vale
f(-x)=f(x),
e como g é ímpar, vale
g(-x)=-g(x)
Logo,
h(-x)=f(-x),g(-x)=f(x),(-g(x))=-l(f(x),g(x)r)=-h(x)

Passo 5

O fato de h(-x)=-h(x) para todo x é exatamente a definição de função ímpar. Portanto, h é ímpar.

Resposta

O produto h(x)=f(x),g(x) é uma função ímpar, pois h(-x)=-h(x).

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