Uma função
f: U subset R^n longrightarrow R,
é dita radial se existir uma função
g: R+ longrightarrow R
tal que
f(X)=g(r), forall X=(x1, ldots, xn) in R^n, onde r=|X|E
Se g for de classe C^2, expressar o laplaciano de uma função radial em termos de g^prime e g^prime prime nos seguintes casos:
Resolver a equação difrencial das funções harmônicas,
triang<= f=0,
para as funções radiais em cada caso seguinte:
No R^2.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos funções radiais em R^2, ou seja, f(X)=g(r) com r=|X|E e gin C^2. O conteúdo é expressar o Laplaciano triang<= f em termos de g' e g'', e depois resolver a equação harmônica
triang<= f = 0
no caso n=2.

Passo 2

Para uma função radial f(X)=g(r) em R^n sabe-se (ou deriva-se computando derivadas parciais) que
triang<= f = g''(r) + n-1r,g'(r)
Esse é o resultado geral que reduz o problema de triang<= f=0 a uma equação ordinária em r.

Passo 3

Especializando em n=2, temos
triang<= f = g''(r) + 2-1r,g'(r) = g''(r) + 1r,g'(r)
A condição de harmonicidade triang<= f=0 vira a ODE
g''(r) + 1r,g'(r) = 0

Passo 4

Para resolver
g''(r) + 1r,g'(r) = 0
multiplicamos por r:
r,g''(r) + g'(r) = 0 Longrightarrow l(r,g'(r)r)' = 0
Integrando, obtemos
r,g'(r) = C1 Longrightarrow g'(r) = C1r
Integramos novamente:
g(r) = C1ln(r) + C2,
onde C1,C2 são constantes de integração.

Resposta

As soluções harmônicas radiais em R^2 são
f(X) = g(r) = C1lnl|Xr|E + C2,
com C1,C2inR.

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