Uma função
f: U subset R^n longrightarrow R,
é dita radial se existir uma função
g: R+ longrightarrow R
tal que
f(X)=g(r), forall X=(x1, ldots, xn) in R^n, onde r=|X|E
Se g for diferenciável, mostrar que o
nabla f(X) / / X, forall X neq 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre funções radiais. Primeiro, vamos entender o que isso significa. Temos uma função f que depende de um vetor X em R^n . Essa função é radial porque ela depende apenas da distância do vetor X até a origem, ou seja, apenas do valor r = |X| . A função g é a que relaciona essa distância r com o valor de f(X) . Nosso objetivo é mostrar que o gradiente de f , denotado por nabla f(X) , é paralelo a X para todo X diferente de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente de uma função. O gradiente nabla f(X) representa a direção e a taxa de variação mais rápida da função f em relação a X . Para funções que dependem apenas da distância r , como no nosso caso, o gradiente vai apontar na direção de X ou na direção oposta.

Passo 3

Agora, vamos calcular o gradiente nabla f(X) . Sabemos que f(X) = g(r) , onde r = |X| . Para encontrar o gradiente, usamos a regra da cadeia da derivação:
nabla f(X) = dgdr cdot nabla r

Passo 4

Precisamos calcular nabla r , onde r = |X| = raizx1^2 + x2^2 + dots + xn^2 . A derivada de r em relação a X é:
nabla r = ( partial rpartial x1, partial rpartial x2, dots, partial rpartial xn ) = X|X|
Ou seja,
nabla r = Xr

Passo 5

Substituindo nabla r na expressão do gradiente de f :
nabla f(X) = dgdr cdot Xr

Passo 6

Observe que Xr é simplesmente a direção do vetor X normalizada. Portanto, o gradiente nabla f(X) é um múltiplo escalar de X , ou seja, ele aponta na mesma direção de X .

Resposta

Concluímos que nabla f(X) é paralelo a X para todo X neq 0 . Matemáticamente,
nabla f(X) paral<=l X

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