Uma função
é dita radial se existir uma função
tal que
Se
for diferenciável, mostrar que o
é dita radial se existir uma função
tal que
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre funções radiais. Primeiro, vamos entender o que isso significa. Temos uma função
que depende de um vetor
em
. Essa função é radial porque ela depende apenas da distância do vetor
até a origem, ou seja, apenas do valor
. A função
é a que relaciona essa distância
com o valor de
. Nosso objetivo é mostrar que o gradiente de
, denotado por
, é paralelo a
para todo
diferente de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente de uma função. O gradiente
representa a direção e a taxa de variação mais rápida da função
em relação a
. Para funções que dependem apenas da distância
, como no nosso caso, o gradiente vai apontar na direção de
ou na direção oposta.
Passo 3
Agora, vamos calcular o gradiente
. Sabemos que
, onde
. Para encontrar o gradiente, usamos a regra da cadeia da derivação:
Passo 4
Precisamos calcular
, onde
. A derivada de
em relação a
é:
Ou seja,
Passo 5
Substituindo
na expressão do gradiente de
:
Passo 6
Observe que
é simplesmente a direção do vetor
normalizada. Portanto, o gradiente
é um múltiplo escalar de
, ou seja, ele aponta na mesma direção de
.
Resposta
Concluímos que
é paralelo a
para todo
. Matemáticamente,