Resolva os PVIs:
l(1+t^4) y^prime(t)+t(1+4(y(t))^2) equiv 0, y(1)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
(1+t^4),y'(t)+tl(1+4l(y(t)r)^2r)=0, y(1)=0
Isso é uma equação diferencial de primeira ordem e é separável, ou seja, dá para agrupar todos os y de um lado e todos os t do outro.

Passo 2

Vamos isolar y' e separar variáveis. De
(1+t^4),y' + tl(1+4y^2r)=0
temos
y' = -tl(1+4y^2r)1+t^4
Escrevendo y'=dydt e movendo termos:
dy1+4y^2 = -t,dt1+t^4

Passo 3

Integramos os dois lados. À esquerda, use u=2y, du=2,dy, daí
integraldy1+4y^2 =12integraldu1+u^2 =12arctan(u) =12arctan(2y)
À direita, use v=t^2, dv=2t,dt, logo
integral -t,dt1+t^4 =-12integraldv1+v^2 =-12arctan(v) =-12arctan(t^2) + C
Assim obtemos
12arctan(2y) =-12arctan(t^2)+C

Passo 4

Multiplicando por 2 e definindo C'=2C,
arctan(2y) = -arctan(t^2) + C'
Usando y(1)=0
arctan(0)=0=-arctan(1)+C'=-pi4 + C' Longrightarrow C'=pi4
Logo
arctan(2y)=pi4-arctan(t^2)

Passo 5

Isolando y, aplicamos a identidade
tanl(tfracpi4-thetar) =1-tantheta1+tantheta,
com theta=arctan(t^2), logo tantheta=t^2. Assim
2y = 1-t^21+t^2 Longrightarrow y(t)=1-t^22,(1+t^2)

Resposta

y(t)=1-t^22,(1+t^2)

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