Resolva os PVIs:
ly^prime(t) equiv t arctg(t)y(t) y(0)=3

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
y'(t) = t,arctan(t)y(t),[0.5em] y(0)=3
Este é um caso de equação diferencial de variáveis separáveis: basta separar y de um lado e t do outro para integrar.]

Passo 2

Multiplicando ambos os lados por y(t),dt, obtemos
y,dy = t,arctan(t),dt
Agora integramos cada membro:
integral y,dy = integral t,arctan(t),dt

Passo 3

Para calcular integral t,arctan(t),dt, fazemos integração por partes escolhendo
u = arctan(t), dv = t,dt,
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du = dt1+t^2, v = t^22
Assim
integral t,arctan(t),dt = t^22,arctan(t) - integral t^22,dt1+t^2 = t^22,arctan(t) - 12integrall(1 - 11+t^2r)dt
Integrando,
integral t,arctan(t),dt = t^22,arctan(t) - 12l(t - arctan(t)r) + C = 12l((1+t^2)arctan(t) - tr) + C

Passo 4

Voltando à integração de ambos os lados:
y^22 = 12l((1+t^2)arctan(t) - tr) + C ;Longrightarrow; y^2 = (1+t^2)arctan(t) - t + C1
Na condição inicial t=0, y(0)=3 implica
9 = y(0)^2 = (1+0)arctan(0) - 0 + C1 = C1,
portanto C1=9.

Passo 5

Substituindo C1=9, a solução geral do PVI fica
y^2 = (1+t^2)arctan(t) - t + 9
Como y(0)=3>0, escolhemos o ramo positivo:
y(t) = raiz, (1+t^2)arctan(t) ;-; t ;+; 9 ,

Resposta

boxedy(t) = raiz, (1+t^2)arctan(t) ;-; t ;+; 9,

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