Resolva os PVIs:
lt^2 y^prime(t) equiv y(t)-t y(t) y(-1)=-1

Passo 1

O enunciado apresenta o PVI com
t^2y'(t)=y(t)-t,y(t)
e condição inicial y(-1)=-1.
Este é um caso de equação diferencial de primeira ordem cujas variáveis podem ser separadas.

Passo 2

Reescrevemos o lado direito como y(t)(1-t) e dividimos ambos os lados por t^2y(t), obtendo
y'(t)y(t)=1-tt^2=1t^2-1t

Passo 3

Integramos ambos os lados em t:
integral y'(t)y(t),dt = integral !l(t^-2-t^-1r),dt
O lado esquerdo dá ln|y|, e o direito
integral t^-2,dt = -1t, integral t^-1,dt = ln|t|
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ln|y(t)| = -1t - ln|t| + C

Passo 4

Exponenciando, obtemos
|y(t)| = e^C,e^-1/t,e^-ln|t| = A,e^-1/t|t|,
onde A=e^C>0. Absorvemos o sinal em A e escrevemos a solução geral como
y(t)=Kt,e^-1/t,
com K constante arbitrária.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(-1)=-1:
-1 = K-1,e^-1/(-1) = -K,e^1 ;Longrightarrow; K = 1e

Passo 6

Substituindo K na solução geral, chegamos à solução particular
y(t)=1e,t,e^-1/t =e^-1/t-1t

Resposta

y(t)=e^-1/t-1t

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