Resolva os PVIs:
ly^prime(t) equiv (y(t))^2-1t^2-1, y(2)=2

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y'(t) = y(t)^2-1t^2-1, y(2)=2
Trata-se de uma equação diferencial de primeira ordem e variáveis separáveis. Vamos separar y e t, usar frações parciais e integrar.

Passo 2

Separamos as variáveis:
dyy^2-1 ;=;dtt^2-1
Para integrar, decompomos em frações parciais:
1y^2-1 =12l(1y-1-1y+1r), 1t^2-1 =12l(1t-1-1t+1r)

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integraldyy^2-1 =12integrall(1y-1-1y+1r)dy =12l[ln|y-1|-ln|y+1|r],
integraldtt^2-1 =12integrall(1t-1-1t+1r)dt =12l[ln|t-1|-ln|t+1|r]+C

Passo 4

Igualando e multiplicando por 2,
lnl|y-1y+1r| =lnl|t-1t+1r|+C',
portanto
y-1y+1 =K,t-1t+1,
onde K=e^C'. Usando y(2)=2
2-12+1 =K,2-12+1 ;Longrightarrow; 13=Kcdot13 ;Longrightarrow; K=1

Passo 5

Com K=1 temos
y-1y+1=t-1t+1
Fazendo a multiplicação cruzada:
(y-1)(t+1)=(y+1)(t-1) ;Longrightarrow; y,t+y -t-1 = y,t -y +t -1 ;Longrightarrow; 2y=2t ;Longrightarrow; y=t

Resposta

y(t)=t.

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