Uma função
é dita radial se existir uma função
tal que
Se uma função
possuir derivadas parciais de segunda ordem, define-se o laplaciano de
, e denota-se por
, pela quantidade dada por
que também se escreve
Se
for de classe
, expressar o laplaciano de uma função radial em termos de
e
nos seguintes casos:
No
é dita radial se existir uma função
tal que
Se uma função
que também se escreve
Se
No
Passo 1
O enunciado pede o laplaciano de uma função radial em
. Temos
e definimos
Para resolver, vamos aplicar a regra da cadeia para obter as derivadas parciais de
em termos de
e
.
Passo 2
Usando a regra da cadeia, para cada
(onde
) temos
Passo 3
Agora calculamos a segunda derivada em relação a
. Ainda pela cadeia e produto,
Como
segue
Passo 4
Somando para
:
Como
, temos
e
. Logo,