Uma função
f: U subset R^n longrightarrow R,
é dita radial se existir uma função
g: R+ longrightarrow R
tal que
f(X)=g(r), forall X=(x1, ldots, xn) in R^n, onde r=|X|E
Se uma função f possuir derivadas parciais de segunda ordem, define-se o laplaciano de f, e denota-se por triang<= f, pela quantidade dada por
De<a f=partial^2 fpartial x1 ^2+ldots+partial^2 fpartial xn ^2
que também se escreve
De<a f=fx1 x1+ldots+fxn xn ou triang<= f=f11+ldots+fn n
Se g for de classe C^2, expressar o laplaciano de uma função radial em termos de g^prime e g^prime prime nos seguintes casos:
No R^3

Passo 1

O enunciado pede o laplaciano de uma função radial em R^3. Temos
f(x,y,z)=g(r), r=raizx^2+y^2+z^2,
e definimos
De<a f = fxx+fyy+fzz
Para resolver, vamos aplicar a regra da cadeia para obter as derivadas parciais de f em termos de g' e g''.

Passo 2

Usando a regra da cadeia, para cada iin1,2,3 (onde x1=x,x2=y,x3=z) temos
partial fpartial xi = g'(r),partial rpartial xi = g'(r),xir

Passo 3

Agora calculamos a segunda derivada em relação a xi. Ainda pela cadeia e produto,
partial^2 fpartial xi^2 = partialpartial xil(g'(r),xirr) = g''(r),l(xirr)xir + g'(r),partialpartial xil(xirr)
Como
partialpartial xil(xirr) =r - xi^2rr^2 =r^2 - xi^2r^3,
segue
fxi xi = g''(r),xi^2r^2 + g'(r),r^2 - xi^2r^3

Passo 4

Somando para i=1,2,3:
De<a f =sumi=1^3 fxi xi = g''(r)sumi=1^3xi^2r^2 + g'(r)sumi=1^3r^2 - xi^2r^3
Como sumi xi^2 = r^2, temos sumi xi^2/r^2=1 e
sumi(r^2 - xi^2)=3r^2 - r^2=2r^2. Logo,
De<a f = g''(r)cdot1 + g'(r),2r^2r^3 = g''(r) + 2r,g'(r)

Resposta

boxedDe<a f(r)=g''(r)+2r,g'(r)

Exercícios relacionados