Use um sistema de computação algébrica para determinar o volume exato do sólido.
Limitado por z=1-x^2-y^2 e z=0

Passo 1

O enunciado nos pede o volume do sólido limitado pela superfície superior
z = 1 - x^2 - y^2
e pela superfície inferior
z = 0
Isso é um problema de cálculo de volume usando integração dupla (ou tripla). Para resolver, vamos projetar a região no plano xy, escolher coordenadas adequadas e calcular a integral.

Passo 2

A projeção no plano xy vem da condição z >= 0, ou seja
1 - x^2 - y^2 >= 0
que equivale a
x^2 + y^2 <= 1
Portanto a região de integração D é o disco de raio 1 centrado na origem.

Passo 3

O volume é
V = integral duplaD l(a<urar),dA = integral duplaD l(1 - x^2 - y^2r),dA
Como D é um disco, é natural usar coordenadas polares
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta,
com 0<= r<=1 e 0<=theta<=2pi. Então
V = integral0^2pi!integral0^1 l(1 - r^2r),r,dr,dtheta = integral0^2pi!integral0^1 l(r - r^3r),dr,dtheta

Passo 4

Calculemos primeiro a integral interna em r:
integral0^1 l(r - r^3r),dr = [12r^2 - 14r^4]0^1 = 12 - 14 = 14

Passo 5

Agora integremos em theta:
V = integral0^2pi 14 ,dtheta = 14 cdot 2pi = pi2

Resposta

boxedpi2

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