Para a função
.
a) Encontre os intervalos nos quais
é crescente ou decrescente.
b) Encontre os valores de máximo e mínimo local de
.
c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
d) Faça o esboço gráfico de
.
a) Encontre os intervalos nos quais
b) Encontre os valores de máximo e mínimo local de
c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
d) Faça o esboço gráfico de
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede:
a) intervalos de crescimento e decrescimento (usando ),
b) máximos e mínimos locais (zerando e analisando mudança de sinal),
c) concavidade e pontos de inflexão (usando ),
d) esboço do gráfico.
a) intervalos de crescimento e decrescimento (usando
b) máximos e mínimos locais (zerando
c) concavidade e pontos de inflexão (usando
d) esboço do gráfico.
Passo 2
Calculemos a derivada primeira e seus zeros.
Zeramos
:
No intervalo
, as soluções de
são
Passo 3
Determinamos o sinal de
:
– quando
.
– quando
.
Fazendo o esboço do cosseno no domínio dado, achamos:
– em
.
– em
.
– em
.
– em
.
–
–
Fazendo o esboço do cosseno no domínio dado, achamos:
–
–
–
–
Passo 4
Como
muda de sinal negativo
positivo em
e em
, ali há mínimos locais. Em
muda de positivo
negativo, há máximo local.
Calculamos os valores:
Calculamos os valores:
Passo 5
Calculemos a derivada segunda para concavidade:
Zero de
é
, ou seja
no domínio.
– Em ,
concavo para cima.
– Em ,
concavo para baixo.
– Em ,
concavo para cima.
Logo há pontos de inflexão em e
.
– Em
– Em
– Em
Logo há pontos de inflexão em
Passo 6
Esboço de
:
– Começa decrescente até , alcança mínimo, cresce até
(máximo), decresce até
(mínimo), cresce até
.
– Concavidade muda em e
.
Marque os pontos críticos e de inflexão e trace o arco conforme o comportamento de e
.
– Começa decrescente até
– Concavidade muda em
Marque os pontos críticos e de inflexão e trace o arco conforme o comportamento de
Resposta
a) Cresce em
e em
; decresce em
e em
.
b) Mínimos locais em
,
e
,
;
máximo local em
,
.
c) Concava para cima em e
; concava para baixo em
; pontos de inflexão em
e
.
d) Gráfico conforme Passo , com comportamento oscilante e crescimento global devido ao termo
.
b) Mínimos locais em
e
máximo local em
c) Concava para cima em
d) Gráfico conforme Passo