Para a função f(x)=x-2 sen x 0<x<3 pi.
a) Encontre os intervalos nos quais f é crescente ou decrescente.
b) Encontre os valores de máximo e mínimo local de f.
c) Encontre os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão.
d) Faça o esboço gráfico de f.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=x-2sin x, 0<x<3pi
e pede:
a) intervalos de crescimento e decrescimento (usando f'),
b) máximos e mínimos locais (zerando f' e analisando mudança de sinal),
c) concavidade e pontos de inflexão (usando f''),
d) esboço do gráfico.

Passo 2

Calculemos a derivada primeira e seus zeros.
f'(x)=ddxl(x-2sin xr)=1-2cos x
Zeramos f':
1-2cos x=0 Longrightarrow cos x=tfrac12
No intervalo 0<x<3pi, as soluções de cos x=tfrac12 são
x=tfracpi3,; x=tfrac5pi3,; x=tfrac7pi3

Passo 3

Determinamos o sinal de f'(x)=1-2cos x:
f'(x)<0 quando cos x>tfrac12.
f'(x)>0 quando cos x<tfrac12.
Fazendo o esboço do cosseno no domínio dado, achamos:
f'<0 em l(0,tfracpi3r).
f'>0 em l(tfracpi3,tfrac5pi3r).
f'<0 em l(tfrac5pi3,tfrac7pi3r).
f'>0 em l(tfrac7pi3,3pir).

Passo 4

Como f' muda de sinal negativo topositivo em x=tfracpi3 e em x=tfrac7pi3, ali há mínimos locais. Em x=tfrac5pi3 muda de positivo tonegativo, há máximo local.
Calculamos os valores:
fl(tfracpi3r) =tfracpi3-2sinl(tfracpi3r) =tfracpi3-raiz3,
fl(tfrac5pi3r) =tfrac5pi3-2sinl(tfrac5pi3r) =tfrac5pi3+,raiz3,
fl(tfrac7pi3r) =tfrac7pi3-2sinl(tfrac7pi3r) =tfrac7pi3-raiz3

Passo 5

Calculemos a derivada segunda para concavidade:
f''(x)=ddxl(1-2cos xr)=2sin x
Zero de f'' é sin x=0, ou seja x=pi,2pi no domínio.
– Em (0,pi), sin x>0 Rightarrow f''>0 Rightarrow concavo para cima.
– Em (pi,2pi), sin x<0 Rightarrow f''<0 Rightarrow concavo para baixo.
– Em (2pi,3pi), sin x>0 Rightarrow f''>0 Rightarrow concavo para cima.
Logo há pontos de inflexão em x=pi e x=2pi.

Passo 6

Esboço de f:
– Começa decrescente até tfracpi3, alcança mínimo, cresce até tfrac5pi3 (máximo), decresce até tfrac7pi3 (mínimo), cresce até 3pi.
– Concavidade muda em x=pi e x=2pi.
Marque os pontos críticos e de inflexão e trace o arco conforme o comportamento de f' e f''.

Resposta

a) Cresce em l(tfracpi3,tfrac5pi3r) e em l(tfrac7pi3,3pir); decresce em l(0,tfracpi3r) e em l(tfrac5pi3,tfrac7pi3r).
b) Mínimos locais em
x=tfracpi3, f=tfracpi3-raiz3
e
x=tfrac7pi3, f=tfrac7pi3-raiz3;
máximo local em
x=tfrac5pi3, f=tfrac5pi3+raiz3.
c) Concava para cima em (0,pi) e (2pi,3pi); concava para baixo em (pi,2pi); pontos de inflexão em x=pi e x=2pi.
d) Gráfico conforme Passo 6, com comportamento oscilante e crescimento global devido ao termo x.

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