O que é uma função exponencial?

Passo 1

A questão pede para explicar o que é uma função exponencial. O conteúdo envolve a definição geral de fun­ções, domínio e imagem, além das propriedades básicas (monotonicidade, assíntotas) e o caso especial da base e.

Passo 2

Uma função exponencial é toda função f que pode ser escrita na forma
f(x) = a^x
onde a base a satisfaz
a > 0 \quad\text{e}\quad a \neq 1.
Aqui x é a variável real e o expoente está na posição dependente da variável.

Passo 3

Para f(x)=a^x, o domínio e a imagem são
\text{Domínio} = \mathbb{R},í
\text{Imagem} = (0,\infty).
Note que f(0)=a^0=1, de modo que o gráfico sempre passa pelo ponto (0,1). Há uma assíntota horizontal em y=0 porque
\lim_{x\to-\infty}a^x = 0.

Passo 4

O comportamento de crescimento depende de a:
Se a>1, então f é estritamente crescente pois valores maiores de x produzem potências maiores.
Se 0<a<1, então f é estritamente decrescente pois o inverso da base fica maior à medida que x aumenta.

Passo 5

O caso mais importante é a = e\approx2{,}71828. Definimos a função exponencial natural por
\exp(x) = e^x.
Uma propriedade chave é
\frac{d}{dx}e^x = e^x,
ou seja, sua derivada é ela mesma, o que torna \exp(x) fundamental em modelagem de crescimento e de processos físicos.

Passo 6

A função inversa de f(x)=a^x é o logaritmo na base a, denotado por \log_a(x), satisfazendo
\log_a\bigl(a^x\bigr) = x \quad\text{e}\quad a^{\log_a(x)} = x.

Resposta

Uma função exponencial é uma função da forma \,f(x)=a^x com base a>0, a\neq1; ela tem domínio \mathbb{R}, imagem (0,\infty), passa em (0,1), possui assíntota y=0 e é crescente se a>1 (decrescente se 0<a<1). No caso a=e obtemos a função natural e^x, cuja derivada é ela mesma, e cuja inversa é o logaritmo \log_a(x).

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