O que é uma função exponencial?
Passo 1
A questão pede para explicar o que é uma função exponencial. O conteúdo envolve a definição geral de funções, domínio e imagem, além das propriedades básicas (monotonicidade, assíntotas) e o caso especial da base
.
Passo 2
Uma função exponencial é toda função
que pode ser escrita na forma
onde a base
satisfaz
Aqui
é a variável real e o expoente está na posição dependente da variável.
Passo 3
Para
, o domínio e a imagem são
Note que
, de modo que o gráfico sempre passa pelo ponto
. Há uma assíntota horizontal em
porque
Passo 4
O comportamento de crescimento depende de
:
Se , então
é estritamente crescente pois valores maiores de
produzem potências maiores.
Se , então
é estritamente decrescente pois o inverso da base fica maior à medida que
aumenta.
Se
Se
Passo 5
O caso mais importante é
. Definimos a função exponencial natural por
Uma propriedade chave é
ou seja, sua derivada é ela mesma, o que torna
fundamental em modelagem de crescimento e de processos físicos.
Passo 6
A função inversa de
é o logaritmo na base
, denotado por
, satisfazendo
Resposta
Uma função exponencial é uma função da forma
com base
,
; ela tem domínio
, imagem
, passa em
, possui assíntota
e é crescente se
(decrescente se
). No caso
obtemos a função natural
, cuja derivada é ela mesma, e cuja inversa é o logaritmo
.