1. O que são arcos de eixo e arcos de quadrante?

Passo 1

O enunciado pede para definirmos dois tipos especiais de arcos no círculo trigonométrico:
  • “arcos de eixo”
  • “arcos de quadrante”
    Para isso vamos usar o conceito de ângulo no círculo unitário, medido a partir do eixo positivo x, e a ideia de referência em cada quadrante.

Passo 2

Arcos de eixo são aqueles cujos lados (inicial e terminal) coincidem com os eixos coordenados. Em outras palavras, são os ângulos cuja medida é múltipla inteira de \tfrac{\pi}{2}. Formalmente, todo arco de eixo \theta satisfaz
\theta = k\,\frac{\pi}{2}, \qquad k\in\mathbb{Z}.
Exemplos em graus: 0^\circ,\;90^\circ,\;180^\circ,\;270^\circ,\;360^\circ,\dots

Passo 3

Arcos de quadrante são os arcos que ficam inteiramente contidos num único quadrante do plano. Se \varphi é um ângulo genérico, existe um inteiro k tal que
k\,\frac{\pi}{2}\;\le\;\varphi\;\le\;(k+1)\,\frac{\pi}{2}.
O arco de quadrante associado a \varphi (também chamado de arco de referência) é então
\alpha \;=\;\varphi - k\,\frac{\pi}{2},
de modo que \alpha\in[0,\tfrac{\pi}{2}]. Esse \alpha é sempre um ângulo agudo que mede a “distância” do lado terminal de \varphi até o eixo x mais próximo.

Resposta

Arcos de eixo são aqueles de medida \theta = k\,\tfrac{\pi}{2}, k\in\mathbb{Z}, cujos lados caem exatamente sobre os eixos x ou y.
Arcos de quadrante (ou de referência) são os ângulos agudos \alpha=\varphi - k\,\tfrac{\pi}{2}\in[0,\tfrac{\pi}{2}],
que representam a parte do arco de \varphi contida num único quadrante.

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