(Função Exponencial) Mostre que a função
é injetiva em qualquer faixa horizontal do plano, dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. A gente tem a função exponencial complexa
e quer mostrar que ela é injetiva quando restrita à faixa horizontal
Ou seja, queremos provar que, dentro desse “túnel” de altura
no eixo imaginário, se
então obrigatoriamente
.
Conteúdo envolvido:
Conteúdo envolvido:
- Definição de injetividade.
- Propriedade de periodicidade da exponencial complexa:
. - Caracterização dos pontos onde
.
Passo 2
Primeiro, lembrar o que é injetividade:
“ é injetiva” significa que sempre que
, a gente tem
.
Então, suponhamos
“
Então, suponhamos
com
e
na faixa
. Vamos concluir que
.
Passo 3
Como
, podemos dividir e escrever
Chama de
essa diferença:
Passo 4
Sabemos da teoria da exponencial complexa que
Ou seja, todos os zeros de
são
vezes um inteiro.
Passo 5
Agora, olha a parte da faixa:
-
e estão entre e . - Logo
fica num intervalo de comprimento
:
Passo 6
Mas, se
, então
. Para um inteiro
,
, o que não cabe no intervalo
.
Só resta . Aí
Só resta
Resposta
Portanto, mostramos que sempre que
na faixa
, vem
. Logo,
é injetiva nessa faixa horizontal.