(Função Exponencial) Mostre que a função e^z é injetiva em qualquer faixa horizontal do plano, dada por alpha <= y<alpha+2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. A gente tem a função exponencial complexa
f(z)=e^z
e quer mostrar que ela é injetiva quando restrita à faixa horizontal
,z=x+iy : alpha <= y<alpha+2pi
Ou seja, queremos provar que, dentro desse “túnel” de altura 2pi no eixo imaginário, se e^z1=e^z2 então obrigatoriamente z1=z2.
Conteúdo envolvido:
  • Definição de injetividade.
  • Propriedade de periodicidade da exponencial complexa: e^w+2pi i=e^w.
  • Caracterização dos pontos onde e^w=1.

Passo 2

Primeiro, lembrar o que é injetividade:
f é injetiva” significa que sempre que f(z1)=f(z2), a gente tem z1=z2.
Então, suponhamos
e^z1=e^z2,
com z1 e z2 na faixa alpha<=Im z<alpha+2pi. Vamos concluir que z1=z2.

Passo 3

Como e^z1=e^z2, podemos dividir e escrever
e^z1e^z2=1Longrightarrow e^,z1-z2=1
Chama de w essa diferença:
w=z1-z2,então e^w=1ã

Passo 4

Sabemos da teoria da exponencial complexa que
e^w=1Long<=ftrightarrow w=2pi i,k(kin Z)
Ou seja, todos os zeros de e^w-1 são 2pi i vezes um inteiro.

Passo 5

Agora, olha a parte da faixa:
  • Im z1 e Im z2 estão entre alpha e alpha+2pi.
  • Logo
Im w = Im(z1-z2) = Im z1 - Im z2
fica num intervalo de comprimento 2pi:
-!2pi < Im w < 2pi

Passo 6

Mas, se w=2pi i,k, então Im w = 2pi k. Para um inteiro kneq0, |Im w|=2pi|k|>=2pi, o que não cabe no intervalo (-!2pi,2pi).
Só resta k=0. Aí
w=2pi icdot0=0Longrightarrow z1-z2=0Longrightarrow z1=z2

Resposta

Portanto, mostramos que sempre que e^z1=e^z2 na faixa alpha<=Im z<alpha+2pi, vem z1=z2. Logo, e^z é injetiva nessa faixa horizontal.

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