A função
é diferenciável? Justifique com detalhes.
.
Passo 1
A função dada é f:
, definida por
. O conteúdo aqui é diferenciabilidade em várias variáveis. Para mostrar que f é diferenciável em todo
, vamos usar a regra da cadeia e também verificar as derivadas parciais.
Passo 2
Reconhecemos f como composição de duas funções:
(uma função polinomial, diferenciável em
) e
(diferenciável em
). Pela regra da cadeia, a composição
é diferenciável onde h e g são diferenciáveis.
Para ilustrar, calculamos as derivadas parciais de f usando a regra da cadeia. Primeiro, e
. Como
, obtemos as parciais:
Para ilustrar, calculamos as derivadas parciais de f usando a regra da cadeia. Primeiro,
Passo 3
Note que cada uma dessas expressões é produto e composição de funções contínuas (polinômios e seno). Logo as derivadas parciais são contínuas em todo
. Uma função com derivadas parciais existentes e contínuas em uma vizinhança é de classe
e, portanto, diferenciável.
Passo 4
Como concluímos que f é a composição de funções diferenciáveis e suas derivadas parciais são contínuas em todo
, seguimos que
é diferenciável em todo
.
Resposta
f é diferenciável em todo
.