A função f é diferenciável? Justifique com detalhes.
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Passo 1

A função dada é f: R^2 to R, definida por f(x,y)=cos(x^2+y^2). O conteúdo aqui é diferenciabilidade em várias variáveis. Para mostrar que f é diferenciável em todo R^2, vamos usar a regra da cadeia e também verificar as derivadas parciais.

Passo 2

Reconhecemos f como composição de duas funções: h(x,y)=x^2+y^2 (uma função polinomial, diferenciável em R^2) e g(t)=cos(t) (diferenciável em R). Pela regra da cadeia, a composição f(x,y)=gl(h(x,y)r) é diferenciável onde h e g são diferenciáveis.
Para ilustrar, calculamos as derivadas parciais de f usando a regra da cadeia. Primeiro, partial h/partial x=2x e partial h/partial y=2y. Como g'(t)=-sin(t), obtemos as parciais:
partial fpartial x(x,y)=g'l(h(x,y)r)cdotpartial hpartial x= -sin(x^2+y^2),2x
partial fpartial y(x,y)= -sin(x^2+y^2),2y

Passo 3

Note que cada uma dessas expressões é produto e composição de funções contínuas (polinômios e seno). Logo as derivadas parciais são contínuas em todo R^2. Uma função com derivadas parciais existentes e contínuas em uma vizinhança é de classe C^1 e, portanto, diferenciável.

Passo 4

Como concluímos que f é a composição de funções diferenciáveis e suas derivadas parciais são contínuas em todo R^2, seguimos que f é diferenciável em todo R^2.

Resposta

f é diferenciável em todo R^2.

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