1. 4 t^2 y^prime prime-8 t y^prime+9 y=0, t>0

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a equação de Euler–Cauchy 4t^2y''-8ty'+9y=0, com t>0. O conteúdo é resolução de equações diferenciais de Euler–Cauchy, e vamos precisar usar a forma de solução y=t^r.

Passo 2

Para equações de Euler–Cauchy, assumimos solução do tipo y=t^r. Calculamos então as derivadas:
y'=r t^r-1,
y''=r(r-1)t^r-2

Passo 3

Substituímos as expressões na equação original:
4t^2l(r(r-1)t^r-2r)-8tl(r t^r-1r)+9t^r=0
Fatorando t^r:
4r(r-1)-8r+9=0

Passo 4

Resolvemos a equação indicial:
4r^2-4r-8r+9=4r^2-12r+9=0
O discriminante é De, logo há raiz dupla
r=128=32

Passo 5

Como a raiz r=3/2 é dupla, a forma geral da solução para Euler–Cauchy com raiz dupla é:
y(t)=C1t^3/2+C2t^3/2ln(t)

Resposta

y(t)=C1t^3/2+C2t^3/2ln(t)

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