Sejam f, g:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} duas funções contínuas e definamos as funções h^{+}, h^{-}:[a, b] \rightarrow \mathbb{R} dadas por
h^{+}(x)=\max \{f(x), g(x)\}, \quad h^{-}(x)=\min \{f(x), g(x)\} .
Mostre que estas funções são contínuas.

Passo 1

O enunciado diz que f e g são contínuas em [a,b] e define
h^{+}(x)=\max\{f(x),g(x)\},\quad h^{-}(x)=\min\{f(x),g(x)\}.
O objetivo é provar que h^{+} e h^{-} são contínuas. Vamos usar propriedades de soma, produto e valor absoluto de funções contínuas.

Passo 2

Recordamos que, se u e v são contínuas em [a,b], então u+v, u-v e uv também são contínuas. Além disso, a função valor absoluto \lvert\,\cdot\,\rvert:\mathbb{R}\to\mathbb{R} é contínua, logo \lvert u(x)-v(x)\rvert é contínua sempre que u e v forem.

Passo 3

Mostramos uma fórmula algébrica para o máximo: para todo x\in[a,b],
\max\{f(x),g(x)\} =\frac{f(x)+g(x)+\lvert f(x)-g(x)\rvert}{2}.
Essa identidade é válida em \mathbb{R} e transforma o máximo numa combinação de soma e valor absoluto.

Passo 4

Como f e g são contínuas, a soma f+g e a diferença f-g são contínuas. Pela continuidade de \lvert\,\cdot\,\rvert, também \lvert f-g\rvert é contínua. Somando essas funções e dividindo por 2, vemos que
h^{+}(x) =\frac{f(x)+g(x)+\lvert f(x)-g(x)\rvert}{2}
é composição de funções contínuas, logo h^{+} é contínua em [a,b].

Passo 5

De modo análogo, para o mínimo temos a identidade
\min\{f(x),g(x)\} =\frac{f(x)+g(x)-\lvert f(x)-g(x)\rvert}{2}.
Novamente isso usa apenas somas, subtrações e valor absoluto de funções contínuas.

Passo 6

Pelo mesmo raciocínio de soma e valor absoluto, a expressão
h^{-}(x) =\frac{f(x)+g(x)-\lvert f(x)-g(x)\rvert}{2}
é contínua em [a,b].

Resposta

Tanto h^{+} quanto h^{-} são contínuas em [a,b].

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