Sejam
duas funções contínuas e definamos as funções
dadas por
Mostre que estas funções são contínuas.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são contínuas em
e define
O objetivo é provar que
e
são contínuas. Vamos usar propriedades de soma, produto e valor absoluto de funções contínuas.
Passo 2
Recordamos que, se
e
são contínuas em
, então
,
e
também são contínuas. Além disso, a função valor absoluto
é contínua, logo
é contínua sempre que
e
forem.
Passo 3
Mostramos uma fórmula algébrica para o máximo: para todo
,
Essa identidade é válida em
e transforma o máximo numa combinação de soma e valor absoluto.
Passo 4
Como
e
são contínuas, a soma
e a diferença
são contínuas. Pela continuidade de
, também
é contínua. Somando essas funções e dividindo por 2, vemos que
é composição de funções contínuas, logo
é contínua em
.
Passo 5
De modo análogo, para o mínimo temos a identidade
Novamente isso usa apenas somas, subtrações e valor absoluto de funções contínuas.
Passo 6
Pelo mesmo raciocínio de soma e valor absoluto, a expressão
é contínua em
.
Resposta
Tanto
quanto
são contínuas em
.