Uma função
chama-se função afim se existe
, tais que
, para todo
. Se
indica o conjunto dessas funções: Mostre que a composição de funções( definida por
, para todo
, é uma operação sobre G e que (
) é um grupo. É comutativo? justifique.
Passo 1
O enunciado define
como o conjunto de todas as funções afins
e a operação é a composição de funções
.
Para mostrar que é um grupo precisamos verificar:
Para mostrar que
- Fechamento em
. - Associatividade da composição.
- Existência de elemento neutro.
- Existência de inverso em
.
Por fim, verificar se o grupo é comutativo.
Passo 2
(Fechamento)
Sejam com
Sejam
Então
Como
, conclui-se que
também é da forma
com coeficiente não nulo, logo
.
Passo 3
(Associatividade)
A composição de funções é sempre associativa. Ou seja, para quaisquer ,
A composição de funções é sempre associativa. Ou seja, para quaisquer
Não é necessário cálculo adicional, pois vale para todas as funções de
.
Passo 4
(Elemento neutro)
A função identidade
A função identidade
pode ser escrita como
, com coeficiente
, então
.
Para toda ,
Para toda
Passo 5
(Inverso)
Dada com
, procuramos
tal que
Dada
Isso exige
e
, ou seja,
Logo
é o inverso de
e pertence a
pois
.
Passo 6
(Abelianidade)
Em geral a composição não comuta. Exemplo concreto:
Em geral a composição não comuta. Exemplo concreto:
Temos
Como
, conclui-se que
. Portanto
não é comutativo.
Resposta
Mostramos que a composição é fechada, associativa, tem neutro
e inversos em
, logo
é um grupo.
O grupo não é comutativo, pois em geral .
O grupo não é comutativo, pois em geral