Uma função f: R R chama-se função afim se existe a, b in R, a neq 0, tais que f(x)=a x+b, para todo x in R. Se G indica o conjunto dessas funções: Mostre que a composição de funções( definida por (f o g)(x)=f(g(x)), para todo x in R, é uma operação sobre G e que ( G, o ) é um grupo. É comutativo? justifique.

Passo 1

O enunciado define G como o conjunto de todas as funções afins
f(x)=a x + b, a,binR, aneq0,
e a operação é a composição de funções (fcirc g)(x)=f(g(x)).
Para mostrar que (G,circ) é um grupo precisamos verificar:
  1. Fechamento em G.
  2. Associatividade da composição.
  3. Existência de elemento neutro.
  4. Existência de inverso em G.
    Por fim, verificar se o grupo é comutativo.

Passo 2

(Fechamento)
Sejam f,gin G com
f(x)=a x+b, g(x)=c x+d, aneq0, cneq0
Então
(fcirc g)(x)=fl(g(x)r) =al(c x+dr)+b =(a c),x+(a d+b)
Como a cneq0, conclui-se que fcirc g também é da forma alpha x+beta com coeficiente não nulo, logo (fcirc g)in G.

Passo 3

(Associatividade)
A composição de funções é sempre associativa. Ou seja, para quaisquer f,g,hin G,
(fcirc g)circ h =fcirc(gcirc h)
Não é necessário cálculo adicional, pois vale para todas as funções de RtoR.

Passo 4

(Elemento neutro)
A função identidade
id(x)=x
pode ser escrita como 1cdot x+0, com coeficiente 1neq0, então idin G.
Para toda fin G,
fcircid=f e idcirc f=f

Passo 5

(Inverso)
Dada f(x)=a x+b com aneq0, procuramos g(x)=c x+d tal que
fcirc g=id Longrightarrow a(c x+d)+b=x
Isso exige a c=1 e a d+b=0, ou seja,
c=1a, d=- b a
Logo
g(x)=1a,x- b a
é o inverso de f e pertence a G pois 1/aneq0.

Passo 6

(Abelianidade)
Em geral a composição não comuta. Exemplo concreto:
f(x)=2x, g(x)=x+1
Temos
(fcirc g)(x)=2(x+1)=2x+2 mas (gcirc f)(x)=2x+1
Como 2x+2neq2x+1, conclui-se que fcirc gneq gcirc f. Portanto (G,circ) não é comutativo.

Resposta

Mostramos que a composição é fechada, associativa, tem neutro id(x)=x e inversos em G, logo (G,circ) é um grupo.
O grupo não é comutativo, pois em geral fcirc gneq gcirc f.

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