Sejam as funções f e g dadas pelas expressões f(x)=1raiz2-x e g(x)=raiz4+x^2. Verifique se existem x in R tais que f circ g(x) esteja definida. Caso existam, escreva essa composta e determine o seu domínio.

Passo 1

O enunciado apresenta as funções
f(x)=1raiz2-x
e
g(x)=raiz4+x^2
e pede para formar a composta fcirc g e determinar seu domínio. Para isso vamos precisar achar primeiro o domínio de g, depois o domínio de f e então impor a condição de existência de f(g(x)).

Passo 2

Domínio de g. Como g(x)=raiz4+x^2, o radicando deve satisfazer
4+x^2>= 0,
o que é verdade para todo xinR. Logo
Dom(g)=R,
e ainda notamos que
g(x)>= raiz4=2para todo xinR

Passo 3

Domínio de f. Como
f(t)=1raiz2-t,
precisamos de
2-t>0Longrightarrow t<2,
pois o denominador não pode ser zero nem ter raiz de número negativo.

Passo 4

Domínio da composta fcirc g. Para f(g(x)) existir, precisamos de
g(x)<2
Mas vimos que g(x)>=2 para todo x, e que no ponto em que g(x)=2 (isto é, x=0) o denominador de f seria zero. Logo não existe xinR tal que g(x)<2. Portanto o domínio da composta é vazio.

Resposta

(fcirc g)(x)=1raiz2-raiz4+x^2,
e
Dom(fcirc g)=varnothing

Exercícios relacionados