Se
, determine a expressão de
, dê o domínio, imagem e esboce o gráfico de
.
Passo 1
O enunciado define a função
dada por
Queremos encontrar a função inversa
, bem como seu domínio, imagem e esboçar o gráfico. Vamos usar a técnica de trocar
e
e resolver em termos de exponencial.
Passo 2
Escrevemos
e trocamos as variáveis:
troca
:
Agora isolamos
:
Logo,
Logo,
Passo 3
O domínio de
é
e sua imagem é
. Invertendo, o domínio de
é
e sua imagem é o domínio original de
, isto é,
Passo 4
O gráfico de
é o de uma exponencial decrescente, com assíntota horizontal em
para
, passando por
e crescendo sem limite para
.
Esboço qualitativo:
- Assíntota:
. - Ponto:
. - Para
, . - Para
, .