Se h(x)=-ln (x+1), determine a expressão de h^-1(x), dê o domínio, imagem e esboce o gráfico de h^-1.

Passo 1

O enunciado define a função hcolon(-1,infty)toR dada por
h(x)=-ln(x+1)
Queremos encontrar a função inversa h^-1, bem como seu domínio, imagem e esboçar o gráfico. Vamos usar a técnica de trocar x e y e resolver em termos de exponencial.

Passo 2

Escrevemos y=h(x) e trocamos as variáveis:
y=-ln(x+1)
troca xrightarrow y:
x=-ln(y+1)
Agora isolamos y:
-x=ln(y+1)
implies y+1=e^-x
implies y=e^-x-1
Logo,
h^-1(x)=e^-x-1

Passo 3

O domínio de h é (-1,infty) e sua imagem é R. Invertendo, o domínio de h^-1 é
dom(h^-1)=R,
e sua imagem é o domínio original de h, isto é,
im(h^-1)=(-1,infty)

Passo 4

O gráfico de h^-1(x)=e^-x-1 é o de uma exponencial decrescente, com assíntota horizontal em y=-1 para xto+infty, passando por (0,0) e crescendo sem limite para xto-infty.
Esboço qualitativo:
  • Assíntota: y=-1.
  • Ponto: l(0,e^0-1r)=(0,0).
  • Para xto-infty, yto+infty.
  • Para xto+infty, yto-1^+.

Resposta

h^-1(x)=e^-x-1, dom(h^-1)=R, im(h^-1)=(-1,infty)

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