Seja T a curva triangular que liga os pontos A=(0,0), B=(1,0) e C=(0,3). Determine
ointT 2 x^5 d x+2 x y d y

Passo 1

O enunciado pede o integral de linha fechado
ointT2x^5,dx + 2xy,dy
onde T é o triângulo com vértices A=(0,0), B=(1,0), C=(0,3).
Conteúdo: integrais de linha em campo planar e Teorema de Green.

Passo 2

Pelo Teorema de Green,
ointTP,dx+Q,dy =integral duplaRl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA,
com P=2x^5 e Q=2xy. Calculamos
partial Qpartial x=2y, partial Ppartial y=0,
logo o integrando é 2y.

Passo 3

O domínio R é o triângulo com vértices (0,0), (1,0), (0,3). A reta BC tem equação
y=-3x+3 Longrightarrow x=1-y3
Para cobrir R em coordenadas (x,y):
y varia de 0 a 3 e, para cada y, x varia de 0 a 1-tfracy3.

Passo 4

Montamos o duplo integral:
integral duplaR2y,dA =integraly=0^3!integralx=0^1-y32y,dx,dy =integral0^32yl(1-tfracy3r)dy =integral0^3!l(2y-tfrac23y^2r)dy
Calculando:
integral0^32y,dy=y^2|0^3=9, integral0^3tfrac23y^2,dy=tfrac23cdottfracy^33|0^3 =tfrac29cdot27=6
Portanto
integral duplaR2y,dA=9-6=3

Resposta

O valor do integral de linha fechado é 3.

Exercícios relacionados