Partição Enumerável (Resnick)Uma partição enumerável de
é uma família enumerável de conjuntos disjuntos tal que sua união é todo
. Dado
uma partição e deixe
ser a
-álgebra gerada pelos conjuntos
.
a) Descreva explicitamente os conjuntos em
.
b) Dado
. Prove que
é mensurável com respeito a
se e somente se exis-
tem constantes
tais que
a) Descreva explicitamente os conjuntos em
b) Dado
tem constantes
Passo 1
Temos uma partição enumerável
de
e definimos
. O conteúdo aqui envolve a descrição de uma álgebra de conjuntos gerada por átomos de partição e a caracterização de funções mensuráveis como funções simples constantes em cada átomo.
Passo 2
A
-álgebra gerada por uma partição em átomos
consiste exatamente nos conjuntos que podem ser escritos como união de alguns
. Ou seja,
Passo 3
Para mostrar que
implica
-mensurável, note que, para qualquer boreliano
,
que pertence a
Passo 4
Para o recíproco, assuma
-mensurável. Se em algum
a função tomasse dois valores distintos, escolheríamos
entre eles e veríamos que
é uma parte própria de
Resposta
a)
b)
é
-mensurável se e somente se existem constantes
tais que