Partição Enumerável (Resnick)Uma partição enumerável de Omega é uma família enumerável de conjuntos disjuntos tal que sua união é todo Omega. Dado F uma partição e deixe sigma ser a F-álgebra gerada pelos conjuntos X: Omega R.
a) Descreva explicitamente os conjuntos em X.
b) Dado F. Prove que cn é mensurável com respeito a X=sumn=1^infty cn 1En se e somente se exis-
tem constantes tais que

Passo 1

Temos uma partição enumerável Enn=1^infty de Omega e definimos F=sigma(En). O conteúdo aqui envolve a descrição de uma álgebra de conjuntos gerada por átomos de partição e a caracterização de funções mensuráveis como funções simples constantes em cada átomo.

Passo 2

A sigma-álgebra gerada por uma partição em átomos En consiste exatamente nos conjuntos que podem ser escritos como união de alguns En. Ou seja,
F=lcupnin AEn:;AsubseteqNr

Passo 3

Para mostrar que X=sumn=1^infty cn1En implica X F-mensurável, note que, para qualquer boreliano BsubseteqR,
X^-1(B)=lomega:X(omega)in Br=cupn:cnin BEn,
que pertence a F por construção. Assim, X é mensurável.

Passo 4

Para o recíproco, assuma X F-mensurável. Se em algum En a função tomasse dois valores distintos, escolheríamos alpha entre eles e veríamos que
X<=alphacap En
é uma parte própria de En pertencente a F, o que contradiz o fato de En ser átomo. Logo, X é constante em cada En; definindo cn=X(omega) para omegain En, obtemos
X=sumn=1^infty cn1En

Resposta

a) F=cupnin AEn:;AsubseteqN b) X é F-mensurável se e somente se existem constantes cn tais que X=sumn=1^infty cn1En

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