A função f(t)=e^t^2 possui transformada de Laplace?

Passo 1

Temos a função f(t)=e^t^2. O conteúdo aqui é transformada de Laplace, e vamos precisar verificar se a integral que define Lf(s) converge.

Passo 2

Por definição, a transformada de Laplace de f é
Lf(s)=integral0^inftyf(t)e^-st,dt
Para existir, essa integral imprópria precisa convergir. Uma condição suficiente é que f seja de ordem exponencial: existam constantes M,a>=0 tais que |f(t)|<= M e^at para t suficientemente grande. Nesse caso, Lf(s) existe para Re(s)>a.

Passo 3

Vamos testar se f(t)=e^t^2 é de ordem exponencial. Considere a razão
e^t^2e^at=e^t^2-at=e^t(t-a)
Para qualquer valor fixo de a, quando ttoinfty temos t(t-a)to+infty, então essa razão tende a +infty. Isso mostra que e^t^2 cresce muito mais rápido que qualquer expoencial e^at, logo não é de ordem exponencial.

Passo 4

Como não satisfaz a condição de ordem exponencial (e, de modo equivalente, a integral
integral0^inftye^t^2e^-st,dt
diverge para todo s), concluímos que não existe Le^t^2(s).

Resposta

A função f(t)=e^t^2 não possui transformada de Laplace.

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