1. A função f(x)=a x^3+b x^2+c passa pelos seguintes pontos P1(1,0), P2(2,0) e P3(3,-2). Determine os coeficientes a, b e c em função das coordenadas dos pontos dados.

Passo 1

Neste exercício vamos achar os coeficientes a, b e c do polinômio cúbico f(x)=a x^3 + b x^2 + c que passa pelos pontos P1(1,0), P2(2,0) e P3(3,-2). O método é montar e resolver um sistema linear aplicando a condição f(xi)=yi.

Passo 2

Substituindo cada ponto no polinômio, temos as equações:
acdot1^3 + bcdot1^2 + c = 0,
acdot2^3 + bcdot2^2 + c = 0,
acdot3^3 + bcdot3^2 + c = -2

Passo 3

Reescrevendo em forma de sistema linear:
a + b + c = 0 8a + 4b + c = 0 27a + 9b + c = -2
Isso cria três equações lineares em a, b e c.

Passo 4

Para eliminar c, subtraímos a primeira equação da segunda e da terceira, gerando:
(8a+4b+c)-(a+b+c)=0-0implies7a+3b=0,
(27a+9b+c)-(8a+4b+c)=-2-0implies19a+5b=-2
Agora temos um sistema com duas equações em a e b apenas.

Passo 5

Da primeira equação do sistema reduzido, isolamos b:
7a + 3b = 0 implies b = -73a
Em seguida substituímos na segunda equação:
19a + 5l(-tfrac73ar) = -2
223a = -2 implies a = -tfrac311

Passo 6

Com a = -tfrac311, encontramos:
b = -73l(-311r) = 711

Passo 7

Finalmente, usamos a equação a + b + c = 0 para achar c:
c = -a - b = -l(-tfrac311r) - tfrac711 = -tfrac411

Resposta

a = -\tfrac{3}{11},\quad b = \tfrac{7}{11},\quad c = -\tfrac{4}{11}

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