Questão 14. Resolva os seguintes sistemas pela regra de Cramer.
Passo 1
O enunciado pede para resolver um sistema linear 4×4 de incógnitas a, b, c e d usando a regra de Cramer, ou seja, calcular o determinante da matriz de coeficientes A e os determinantes das matrizes A₁, A₂, A₃ e A₄ (que surgem de substituir cada coluna pelo vetor de termos independentes) e usar xi=det(Ai)det(A)
Passo 2
A regra de Cramer diz que, para um sistema Ax=b com det(A)neq0, cada incógnita xi é dada por xi=det(Ai)det(A), onde Ai é a matriz obtida trocando a i-ésima coluna de A pelo vetor b. Primeiro, vamos encontrar det(A).
Para calcular det(A), usamos expansão por cofatores na primeira coluna. Após computar os menores M11,M21,M31,M41 e seus determinantes, obtemos:
det(A)=-(90+2cdot63+117+90)=-423
Passo 3
Agora substituímos a primeira coluna de A pelo vetor de constantes para formar A1 e calculamos det(A1). Fazendo a expansão semelhante, chegamos a
det(A1)=-2115
logo a=det(A1)det(A)=-2115-423=5
Passo 4
Repetimos o processo para a segunda coluna: após formar A2 e calcular det(A2)=-3384, vem
b=-3384-423=8
Passo 5
Para a terceira coluna, obtém-se det(A3)=-1269 e assim
c=-1269-423=3
Passo 6
Finalmente, trocando a quarta coluna e encontrando det(A4)=423, temos