Sejam
um intervalo e
uma função contínua. Dados
, mostre que existe
tal que
Passo 1
O enunciado diz que
é um intervalo em
e que
é contínua.
Temos pontos e queremos mostrar que existe
tal que
Temos pontos
O conteúdo principal aqui é o Teorema do Valor Intermediário (TVI), que garante que se
é contínua num intervalo, então atinge todos os valores entre quaisquer dois de seus valores.
Passo 2
Definimos a média dos valores de
nos pontos dados:
O que queremos é encontrar
tal que
.
Passo 3
Seja
Por construção temos
Escolhemos índices
e
tais que
Passo 4
Como
é um intervalo e
, o subintervalo com extremidades
e
também está contido em
. Em notação,
Na extremidade correspondente temos
Pelo Teorema do Valor Intermediário, a continuidade de
em
garante a existência de um ponto
tal que
Resposta
Existe
tal que