Sejam I um intervalo e f: I R uma função contínua. Dados x1, x2, ldots, xn in I, mostre que existe c in I tal que
f(c)=f(x1)+cdots+f(xn)n

Passo 1

O enunciado diz que I é um intervalo em R e que f: ItoR é contínua.
Temos pontos x1,x2,dots,xnin I e queremos mostrar que existe cin I tal que
f(c)=f(x1)+cdots+f(xn)n
O conteúdo principal aqui é o Teorema do Valor Intermediário (TVI), que garante que se f é contínua num intervalo, então atinge todos os valores entre quaisquer dois de seus valores.

Passo 2

Definimos a média dos valores de f nos pontos dados:
alpha = f(x1) + f(x2) + cdots + f(xn)n
O que queremos é encontrar cin I tal que f(c)=alpha.

Passo 3

Seja
m = min,f(x1),f(x2),dots,f(xn), M = max,f(x1),f(x2),dots,f(xn)
Por construção temos
m ;<=;alpha;<=;M
Escolhemos índices k e ell tais que
f(xk) = m, f(xell) = M

Passo 4

Como I é um intervalo e xk,xellin I, o subintervalo com extremidades xk e xell também está contido em I. Em notação,
[xk,xell]subseteq I ou [xell,xk]subseteq I
Na extremidade correspondente temos
f(xk) = m <= alpha <= M = f(xell)
Pelo Teorema do Valor Intermediário, a continuidade de f em [xk,xell] garante a existência de um ponto
c in [,xk,xell,]subseteq I
tal que
f(c) = alpha

Resposta

Existe cin I tal que
f(c) = f(x1) + cdots + f(xn)n

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