Resolver as integrais
integral 2 x^4+5 x^2+1(x^2+1)^2(x^2-1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral 2x^4+5x^2+1(x^2+1)^2(x^2-1),dx
O conteúdo principal é integração de função racional, que vamos resolver usando decomposição em frações parciais e o resultado conhecido para
integral dx(x^2+1)^2.

Passo 2

Começamos supondo a decomposição
2x^4+5x^2+1(x^2+1)^2(x^2-1) =Ax-1+Bx+1+Cx+Dx^2+1+Ex+F(x^2+1)^2

Passo 3

Para achar A e B, façamos x=1 e x=-1:
  1. Em x=1:
    Lado esquerdo é 2+5+1=8.
    No lado direito só sobra o termo com A:
    A,(1+1),(1^2+1)^2 =Acdot2cdot(2)^2=8A
    Logo 8=8Aimplies A=1.
  2. Em x=-1:
    Lado esquerdo é novamente 8.
    No direito só sobra o termo com B:
    B,(-1-1),((-1)^2+1)^2 =Bcdot(-2)cdot(2)^2=-8B
    Logo 8=-8Bimplies B=-1.

Passo 4

Subtraindo do numerador os termos de A e B obtemos
2x^4+5x^2+1 -l[(x+1)(x^2+1)^2-(x-1)(x^2+1)^2r] = x^2-1
Então deve valer
x^2-1=(x^2-1)l[(Cx+D)(x^2+1)+(Ex+F)r]
Dividindo por x^2-1 (para x^2neq1) e igualando coeficientes em
1=(Cx+D)(x^2+1)+(Ex+F) =Cx^3+Dx^2+(C+E)x+(D+F),
temos
C=0, D=0, C+E=0implies E=0, D+F=1implies F=1

Passo 5

A decomposição final é
2x^4+5x^2+1(x^2+1)^2(x^2-1) =1x-1-1x+1+1(x^2+1)^2

Passo 6

Integramos termo a termo:
  1. integral dxx-1=lnl|x-1r|.
  2. integral -dxx+1=-lnl|x+1r|.
  3. Para integral dx(x^2+1)^2, usamos o resultado padrão integral dx(x^2+1)^2 =x2(x^2+1)+12arctan(x)+C

Passo 7

Somando tudo e reunindo constantes, obtemos
integral 2x^4+5x^2+1(x^2+1)^2(x^2-1),dx =ln!l|x-1r|-ln!l|x+1r| +x2(x^2+1)+12arctan(x)+C

Resposta

boxed integral 2x^4+5x^2+1(x^2+1)^2(x^2-1),dx =lnl|x-1x+1r| +x2(x^2+1) +12arctan(x) +C

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