- Para a função
:
(a) ( 0,5 ponto) Determine o domínio da funçäo:
(b) (1,0 ponto) Se vocë fez o item (a), determine os pontos críticos e os intervalos de crescimento e decrescimento da funçao (comece calculando os pontos críticos e, em seguida, aplique o teste da primeira derivada para achar os intervalos pedidos).
(c) (1,0 ponto) Se voce fez-o item (b), determine onde a função é côncava e onde é convexa. Em seguida, determine os pontos de inflexão caso existam:
(d) (1,0 ponto) Se você fez o item (c), faça um esboço do gráfico da função, apontando no gráfico os pontos críticos se eles existem e os pontos de inflexão se eles existem.
(a) ( 0,5 ponto) Determine o domínio da funçäo:
(b) (1,0 ponto) Se vocë fez o item (a), determine os pontos críticos e os intervalos de crescimento e decrescimento da funçao (comece calculando os pontos críticos e, em seguida, aplique o teste da primeira derivada para achar os intervalos pedidos).
(c) (1,0 ponto) Se voce fez-o item (b), determine onde a função é côncava e onde é convexa. Em seguida, determine os pontos de inflexão caso existam:
(d) (1,0 ponto) Se você fez o item (c), faça um esboço do gráfico da função, apontando no gráfico os pontos críticos se eles existem e os pontos de inflexão se eles existem.
Passo 1
O enunciado pede para a função
determinar (a) o domínio, (b) os pontos críticos e intervalos de crescimento/decrescimento usando o teste da primeira derivada, (c) os intervalos de concavidade e convexidade e pontos de inflexão usando a segunda derivada, e (d) esboçar o gráfico marcando os pontos críticos e de inflexão. Vamos usar cálculo de derivadas e análise de sinais.
Passo 2
Para (a), como
é polinomial, não há restrição em
. Logo
Passo 3
Para (b) calculamos a primeira derivada:
Os pontos críticos vêm de
, ou seja
Analisando o sinal de
:
- Para
: e . - Para
: , . - Para
: , .
Logodecresce em e cresce em . Em a derivada muda de negativo para negativo (sem extremo) e em muda de negativo para positivo (mínimo local). O valor em é
Passo 4
Para (c) calculamos a segunda derivada:
Resolvendo
obtém-se
e
. Analisando o sinal:
- Para
: , (convexa). - Para
: , (côncava). - Para
: , (convexa).
Logoé convexa em e côncava em . Há pontos de inflexão em e . Seus valores são
Passo 5
Para (d), o esboço qualitativo de
é o seguinte:
- Como é polinomial de grau
com coeficiente líder positivo, . -
decresce de até , apresentando um mínimo local em . - Em
e há pontos de inflexão em e , onde a concavidade troca de convexa para côncava (em ) e de côncava para convexa (em ). - Após
, cresce indefinidamente, mantendo concavidade positiva.
Resposta
(a)
(b) . Pontos críticos em
(sem extremo) e
(mínimo local em
).
decresce em
e cresce em
.
(c) .
é convexa em
, côncava em
. Pontos de inflexão em
e
.
(d) Gráfico com mínimo local em , inflexões em
e
, cai até
e depois sobe, com
.
(b)
(c)
(d) Gráfico com mínimo local em