1. Para a função f(x)=x^{4}-\frac{x^{3}}{3}+10 :
    (a) ( 0,5 ponto) Determine o domínio da funçäo:
    (b) (1,0 ponto) Se vocë fez o item (a), determine os pontos críticos e os intervalos de crescimento e decrescimento da funçao (comece calculando os pontos críticos e, em seguida, aplique o teste da primeira derivada para achar os intervalos pedidos).
    (c) (1,0 ponto) Se voce fez-o item (b), determine onde a função é côncava e onde é convexa. Em seguida, determine os pontos de inflexão caso existam:
    (d) (1,0 ponto) Se você fez o item (c), faça um esboço do gráfico da função, apontando no gráfico os pontos críticos se eles existem e os pontos de inflexão se eles existem.

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x)=x^{4}-\frac{x^{3}}{3}+10
determinar (a) o domínio, (b) os pontos críticos e intervalos de crescimento/decrescimento usando o teste da primeira derivada, (c) os intervalos de concavidade e convexidade e pontos de inflexão usando a segunda derivada, e (d) esboçar o gráfico marcando os pontos críticos e de inflexão. Vamos usar cálculo de derivadas e análise de sinais.

Passo 2

Para (a), como f é polinomial, não há restrição em x. Logo
\dom(f)=\mathbb{R}.

Passo 3

Para (b) calculamos a primeira derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(x^{4}\Bigr)-\frac{d}{dx}\Bigl(\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr) =4x^{3}-x^{2}=x^{2}(4x-1).
Os pontos críticos vêm de f'(x)=0, ou seja
x^{2}(4x-1)=0\quad\Longrightarrow\quad x=0\quad\text{ou}\quad x=\tfrac14.
Analisando o sinal de f':
  • Para x<0: x^{2}>0 e 4x-1<0 \Rightarrow f'<0.
  • Para 0<x<\tfrac14: x^{2}>0, 4x-1<0 \Rightarrow f'<0.
  • Para x>\tfrac14: x^{2}>0, 4x-1>0 \Rightarrow f'>0.
    Logo f decresce em (-\infty,\tfrac14) e cresce em (\tfrac14,\infty). Em x=0 a derivada muda de negativo para negativo (sem extremo) e em x=\tfrac14 muda de negativo para positivo (mínimo local). O valor em x=\tfrac14 é
f\bigl(\tfrac14\bigr) =\bigl(\tfrac14\bigr)^{4}-\frac{(\tfrac14)^{3}}{3}+10 =\frac{1}{256}-\frac{1}{192}+10 =10-\frac{1}{768} =\frac{7679}{768}.

Passo 4

Para (c) calculamos a segunda derivada:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(4x^{3}-x^{2}\bigr) =12x^{2}-2x =2x(6x-1).
Resolvendo f''(x)=0 obtém-se x=0 e x=\tfrac16. Analisando o sinal:
  • Para x<0: 2x<0, 6x-1<0 \Rightarrow f''>0 (convexa).
  • Para 0<x<\tfrac16: 2x>0, 6x-1<0 \Rightarrow f''<0 (côncava).
  • Para x>\tfrac16: 2x>0, 6x-1>0 \Rightarrow f''>0 (convexa).
    Logo f é convexa em (-\infty,0)\cup(\tfrac16,\infty) e côncava em (0,\tfrac16). Há pontos de inflexão em x=0 e x=\tfrac16. Seus valores são
f(0)=10, \qquad f\bigl(\tfrac16\bigr) =\bigl(\tfrac16\bigr)^{4}-\frac{(\tfrac16)^{3}}{3}+10 =\frac{1}{1296}-\frac{1}{648}+10 =10-\frac{1}{1296} =\frac{12959}{1296}.

Passo 5

Para (d), o esboço qualitativo de f é o seguinte:
  • Como é polinomial de grau 4 com coeficiente líder positivo, \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty.
  • f decresce de -\infty até x=\tfrac14, apresentando um mínimo local em \bigl(\tfrac14,\tfrac{7679}{768}\bigr).
  • Em x=0 e x=\tfrac16 há pontos de inflexão em (0,10) e \bigl(\tfrac16,\tfrac{12959}{1296}\bigr), onde a concavidade troca de convexa para côncava (em x=0) e de côncava para convexa (em x=\tfrac16).
  • Após x=\tfrac14, f cresce indefinidamente, mantendo concavidade positiva.

Resposta

(a) \dom(f)=\mathbb{R}.
(b) f'(x)=x^{2}(4x-1). Pontos críticos em x=0 (sem extremo) e x=\tfrac14 (mínimo local em \frac{7679}{768}). f decresce em (-\infty,\tfrac14) e cresce em (\tfrac14,\infty).
(c) f''(x)=2x(6x-1). f é convexa em (-\infty,0)\cup(\tfrac16,\infty), côncava em (0,\tfrac16). Pontos de inflexão em (0,10) e \bigl(\tfrac16,\tfrac{12959}{1296}\bigr).
(d) Gráfico com mínimo local em \bigl(\tfrac14,\tfrac{7679}{768}\bigr), inflexões em (0,10) e \bigl(\tfrac16,\tfrac{12959}{1296}\bigr), cai até x=\tfrac14 e depois sobe, com \lim_{x\to\pm\infty}f(x)=+\infty.

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