1. (1,0 ponto) Calcule o limite \lim _{x \rightarrow 1 / 2} \frac{2 x^{2}+x-1}{4 x^{2}-1} aplicando a regra de L’hôpital.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\displaystyle \lim_{x\to\frac12}\frac{2x^{2}+x-1}{4x^{2}-1}
usando a regra de L’Hôpital. Vamos precisar verificar se ao substituir x=\tfrac12 o quociente fica numa forma indeterminada do tipo \tfrac{0}{0} e, em seguida, aplicar a regra, que diz que
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
quando ambas as derivadas existem e f(a)=g(a)=0.

Passo 2

Substituindo x=\tfrac12 em numerador e denominador:
Numerador:
2\bigl(\tfrac12\bigr)^{2}+\tfrac12-1 =2\cdot\tfrac14+\tfrac12-1 =\tfrac12+\tfrac12-1 =0.
Denominador:
4\bigl(\tfrac12\bigr)^{2}-1 =4\cdot\tfrac14-1 =1-1 =0.
Logo é a forma \tfrac{0}{0}, então podemos usar L’Hôpital.

Passo 3

Calculamos as derivadas de numerador e denominador:
f(x)=2x^{2}+x-1 \quad\Longrightarrow\quad f'(x)=4x+1,
g(x)=4x^{2}-1 \quad\Longrightarrow\quad g'(x)=8x.
Pela regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to\frac12}\frac{2x^{2}+x-1}{4x^{2}-1} =\lim_{x\to\frac12}\frac{4x+1}{8x}.

Passo 4

Agora basta substituir x=\tfrac12 no quociente das derivadas:
\frac{4\bigl(\tfrac12\bigr)+1}{8\cdot\tfrac12} =\frac{2+1}{4} =\frac{3}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{3}{4}

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