- (2,0 pontos) Dada a função
, determine para ela: (só faça o item seguinte se fez o anterior)
(i) o seu domínio;
(ii) os pontos críticos caso existam;
(iii) os intervalos de crescimento e decrescimento;
(iv) a concavidade;
(v) os pontos de inflexão caso existam.
Se você fez todos o itens (i-v), use suas respostas para fazer um esboço do gráfico.
NOTA: Cada item será corrigido se fizer o anterior.
(i) o seu domínio;
(ii) os pontos críticos caso existam;
(iii) os intervalos de crescimento e decrescimento;
(iv) a concavidade;
(v) os pontos de inflexão caso existam.
NOTA: Cada item será corrigido se fizer o anterior.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida no intervalo
. Vamos encontrar: (i) domínio; (ii) pontos críticos; (iii) intervalos de crescimento e decrescimento; (iv) concavidade; (v) pontos de inflexão; e por fim esboçar o gráfico.
Passo 2
Para (i) o domínio da função é o conjunto de
em que a função está definida. Como o enunciado já limita
, temos
Passo 3
Para (ii) pontos críticos, calculamos a derivada primeira:
Igualamos a zero:
produz
e
, ambos no domínio. Logo, os pontos críticos são
e
, isto é:
Passo 4
Para (iii) crescimento ou decrescimento, analisamos o sinal de
. Os zeros são
e
. Num esboço de reta:
– Para ,
e
(cresce).
– Para ,
e
(decresce).
– Para ,
e
(cresce).
Logo, cresce em e decresce em
.
– Para
– Para
– Para
Logo, cresce em
Passo 5
Para (iv) concavidade, calculamos a derivada segunda:
O sinal de
troca em
, isto é
. Para
,
(côncava para baixo); para
,
(côncava para cima). Assim, concava para baixo em
e concava para cima em
.
Passo 6
Para (v) ponto de inflexão, buscamos onde
muda de sinal, ou seja em
. O valor de
ali é
Logo, existe ponto de inflexão em
.
Passo 7
Para esboçar o gráfico, usamos todos os itens: a curva parte de
, cresce até o ponto crítico
com concavidade para baixo até o ponto de inflexão
, depois decresce até
e finalmente cresce até
com concavidade para cima. Traçamos uma curva suave que passe por esses pontos, respeitando monotonicidade e concavidade em cada trecho.
Resposta
(i)
.
(ii) Pontos críticos em e
, correspondendo a
e
.
(iii) Cresce em ; decresce em
.
(iv) Côncava para baixo em ; côncava para cima em
.
(v) Ponto de inflexão em .
(ii) Pontos críticos em
(iii) Cresce em
(iv) Côncava para baixo em
(v) Ponto de inflexão em