1. (2,0 pontos) Dada a função y=x^{3}-x^{2}+1,-1 \leq x \leq 2, determine para ela: (só faça o item seguinte se fez o anterior)
    (i) o seu domínio;
    (ii) os pontos críticos caso existam;
    (iii) os intervalos de crescimento e decrescimento;
    (iv) a concavidade;
    (v) os pontos de inflexão caso existam.
Se você fez todos o itens (i-v), use suas respostas para fazer um esboço do gráfico.
NOTA: Cada item será corrigido se fizer o anterior.

Passo 1

O enunciado dá a função y = x^3 - x^2 + 1 definida no intervalo -1 \le x \le 2. Vamos encontrar: (i) domínio; (ii) pontos críticos; (iii) intervalos de crescimento e decrescimento; (iv) concavidade; (v) pontos de inflexão; e por fim esboçar o gráfico.

Passo 2

Para (i) o domínio da função é o conjunto de x em que a função está definida. Como o enunciado já limita -1 \le x \le 2, temos
\mathrm{Dom}(y) = [-1,2].

Passo 3

Para (ii) pontos críticos, calculamos a derivada primeira:
y' = \frac{d}{dx}(x^3 - x^2 + 1) = 3x^2 - 2x = x(3x - 2).
Igualamos a zero: x(3x - 2) = 0 produz x = 0 e x = \tfrac{2}{3}, ambos no domínio. Logo, os pontos críticos são (0,y(0)) e \bigl(\tfrac{2}{3},y(\tfrac{2}{3})\bigr), isto é:
y(0) = 1, \quad y\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr) = \frac{8}{27} - \frac{4}{9} + 1 = \frac{23}{27}.

Passo 4

Para (iii) crescimento ou decrescimento, analisamos o sinal de y'=x(3x-2). Os zeros são x=0 e x=\tfrac{2}{3}. Num esboço de reta:
– Para -1 < x < 0, x<0 e 3x-2<0 \:\Rightarrow y'>0 (cresce).
– Para 0 < x < \tfrac{2}{3}, x>0 e 3x-2<0 \:\Rightarrow y'<0 (decresce).
– Para \tfrac{2}{3} < x < 2, x>0 e 3x-2>0 \:\Rightarrow y'>0 (cresce).
Logo, cresce em [-1,0)\cup(\tfrac{2}{3},2] e decresce em (0,\tfrac{2}{3}).

Passo 5

Para (iv) concavidade, calculamos a derivada segunda:
y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 2x) = 6x - 2.
O sinal de y'' troca em 6x-2=0, isto é x = \tfrac{1}{3}. Para x < \tfrac{1}{3}, 6x-2<0 (côncava para baixo); para x > \tfrac{1}{3}, 6x-2>0 (côncava para cima). Assim, concava para baixo em [-1,\tfrac{1}{3}) e concava para cima em (\tfrac{1}{3},2].

Passo 6

Para (v) ponto de inflexão, buscamos onde y'' muda de sinal, ou seja em x=\tfrac{1}{3}. O valor de y ali é
y\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr) = \frac{1}{27} - \frac{1}{9} + 1 = \frac{25}{27}.
Logo, existe ponto de inflexão em \bigl(\tfrac{1}{3},\tfrac{25}{27}\bigr).

Passo 7

Para esboçar o gráfico, usamos todos os itens: a curva parte de (-1,y(-1)) = (-1,-1), cresce até o ponto crítico (0,1) com concavidade para baixo até o ponto de inflexão \bigl(\tfrac{1}{3},\tfrac{25}{27}\bigr), depois decresce até \bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{23}{27}\bigr) e finalmente cresce até (2,5) com concavidade para cima. Traçamos uma curva suave que passe por esses pontos, respeitando monotonicidade e concavidade em cada trecho.

Resposta

(i) \mathrm{Dom}(y) = [-1,2].
(ii) Pontos críticos em x=0 e x=\tfrac{2}{3}, correspondendo a (0,1) e \bigl(\tfrac{2}{3},\tfrac{23}{27}\bigr).
(iii) Cresce em [-1,0)\cup(\tfrac{2}{3},2]; decresce em (0,\tfrac{2}{3}).
(iv) Côncava para baixo em [-1,\tfrac{1}{3}); côncava para cima em (\tfrac{1}{3},2].
(v) Ponto de inflexão em \bigl(\tfrac{1}{3},\tfrac{25}{27}\bigr).

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