Racionalize as expressões e simplifique o resultado:
\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}

Passo 1

O que o enunciado pede: racionalizar e simplificar a expressão \dfrac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}.
Informações dadas (implícitas): os radicais existem e o denominador não é zero. Portanto devemos ter x\ge 0, y\ge 0 e x\ne y.

Passo 2

Ideia da racionalização (explicação didática): quando o denominador é uma diferença com raízes, multiplicamos numerador e denominador pela conjugada (a soma) para usar a identidade
(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}.
Aqui basta identificar a=\sqrt{x} e b=\sqrt{y}. A vantagem é que a^{2} e b^{2} eliminam as raízes.

Passo 3

Multiplicamos numerador e denominador pela conjugada \sqrt{x}+\sqrt{y}:
\dfrac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\cdot\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}} =\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})}.

Passo 4

Aplicando a identidade do passo anterior ao denominador e lembrando que (\sqrt{x})^{2}=x e (\sqrt{y})^{2}=y, obtemos
(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})=x-y.
Logo a expressão fica
\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-y}.

Passo 5

Verificações e observações úteis para a prova: manter a condição x\ne y (caso contrário o denominador inicial é zero). Se for conveniente ter denominador positivo quando x<y, pode-se escrever
\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-y}=-\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{y-x},
mas a forma racionalizada padrão é \dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-y}.
Exemplo numérico rápido para conferir (apenas para treinar): para x=9 e y=4, a expressão original vale \dfrac{1}{3-2}=1. A forma racionalizada dá \dfrac{3+2}{9-4}=\dfrac{5}{5}=1.

Resposta

\dfrac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{x-y}

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